Функций с помощью формулы Маклорена

Представление некоторых из основных элементарных

Формула Тейлора

Функций с помощью формулы Маклорена.

Представление некоторых основных элементарных

Тема: Правило Лопиталя. Формула Тейлора.

Лекция № 12

Теорема 1: (правило Лопиталя). Пусть функции – определены и дифференцируемы в окрестности и,. Пусть. Тогда, если существует конечный или бесконечный предел отношения:

Доказательство:

Доопределим функции в точке, полагая:. Рассмотрим отрезок (или). На этом отрезке функции удовлетворяют условиям теоремы Коши и тогда, такая, что или:, т.к.. Если. #

Замечание 1: Теоремаверна, если, т.е.когда имеют место неопределённости:.

Замечание 2: Теорема верна, если, для этого достаточно сделать замену переменной:.

Пример 1: Рассмотрим, т.к. функция –ограниченная, с другой стороны: не существует, т.к. не существует.

Пример 2: Рассмотрим предел:. Т.о. существование предела отношения производных влечёт существование предела отношения функций (ему равного), Обратное же не верно.

Рассмотрим многочлен:. Пусть – произвольное число, тогда (используя известный бином Ньютона) получим:

, раскрывая скобки, можно получить: (*) где –постоянные, зависящие от и от.

В дальнейшем будем последовательно дифференцировать равенство (*):

Полагая в этих выражениях:, получим:. Здесь. Откуда следует, что один и тот же многочлен от степени «» можно представить в виде многочлена по степеням:

Эта формула называется формулой Тейлора для многочлена. Если же, то формула Тейлора носит название формулы Маклорена.

Пусть теперь в окрестности точки задана функция, не являющаяся многочленом степени «n», но имеющая в рассматриваемой точке производные до порядка «n+1» включительно. Тогда составим функцию: Этот многочлен называется многочленом Тейлора для функции. Если бы эта функция была многочленом степени «n», то.

Пусть, где – многочлен Тейлора степени «n» по степеням, тогда – остаточный член формулы Тейлора.

Теорема 2: (формула Тейлора). Пусть функция () раз дифференцируема в окрестности точки. Тогда: функция представима в виде:

где (*)

–остаточный член формулы Тейлора.

Доказательство:

Для определённости положим: Пусть. Введём вспомогательную функцию:. Покажем, что имеет вид (*). Для этого рассмотрим функцию:. Причём, если

, при т.к..

Т.о. функция удовлетворяет условиям теоремы Роля

() тогда имеем:, т.е., где

#

Заметим, что,, тогда и формула Маклорена будет для этой функции иметь вид:

, где, если рассматривать значение – фиксированное, то, т.к.

Заметим:. Тогда будем иметь: и т.д.

Окончательно получим:

,

где

Для получения формулы Маклорена этой функции достаточно заметить, что, поэтому в предыдущей формуле Маклорена вычисляя производные для каждого из слагаемых, получим:

,

Где

Здесь принято:. Для построения формулы Маклорена, достаточно заметить, что: В точке, имеем:

Тогда:, где:.

– биноминальное представление:

Где

При «m» – натуральном и любом значении “x” все члены формулы, начиная с, равны нулю и формула Маклорена превращается в обычный бином Ньютона. #

Дата добавления: 2014-01-07