Неравенство Чебышева. Моменты случайной величины Определение 12.3 Для целого неотрицательного начальным моментом порядка k называется величина

Моменты случайной величины

Определение 12.3

Для целого неотрицательного начальным моментом порядка k называется величина .

Определение 12.4

Для целого неотрицательного центральным моментом порядка k называется величина .

Теорема 12.1. Неравенство Чебышева

Пусть — неотрицательная неубывающая на множестве значений случайной величины функция. Предположим, что существует . Тогда для каждого справедливо .

Доказательство. Пусть — функция распределения . Применяя формулу (12.1), получим

,

что и доказывает теорему.

ЧЕБЫШЕВ ПАФНУТИЙ ЛЬВОВИЧ (14 (26) мая 1821, село Окатово Калужской губернии, ныне Калужской области — 26 ноября (8 декабря) 1894, Санкт–Петербург) — российский математик и механик, член Петербургской академии наук (1856), основатель Петербургской математической школы. Член Берлинской АН (1871), Болонской АН (1873), Парижской АН (1874; член-корреспондент с 1860), Лондонского Королевского общества (1877), Шведской АН (1893) и почетный член многих русских и иностранных научных обществ, академий, университетов.

П.Л. Чебышёв положил начало развитию многих новых разделов математики (теория приближений функций, интегральное исчисление, теория чисел, теория вероятностей), а также теории механизмов и машин. Одним из первых он начал увязывать проблемы математики с принципиальными вопросами естествознания и техники, многие его открытия обусловлены именно прикладными задачами.

В 1847 защищает в Петербургском университете диссертацию «Об интегрировании с помощью логарифмов» на право чтения лекций и после утверждения в звании доцента приступает к чтению лекций по алгебре и теории чисел. В 1849 защищает в Петербургском университете докторскую диссертацию «Теория сравнений», которая в том же году была удостоена Демидовской премии. С 1850 по 1882 — профессор Петербургского университета. После выхода в отставку Чебышев до конца жизни занимается научной работой.

С 1856 года Чебышев работал в артиллерийском отделе Военного ученого комитета, занимался вопросами баллистики. Его теоретические разработки позволили русской артиллерии выйти в конце 19 века на одно из первых мест в мире.

Исследования Чебышева относятся к теории приближения функций многочленами, интегральному исчислению, теории чисел, теории вероятностей, теории механизмов и другим областям знания. Наибольшее число работ посвящено математическому анализу.

Работы Чебышева по теории вероятностей: «Опыт элементарного анализа теории вероятностей» (1845); «Элементарное доказательство одного общего положения теории вероятностей» (1846); «О средних величинах» (1867); «О двух теоремах относительно вероятностей» (1887)] ознаменовали важный этап в развитии теории вероятностей. П.Л.Чебышев стал систематически использовать случайные величины. Им доказаны неравенство, носящее ныне имя Чебышева, и — в весьма общей форме — закон больших чисел.

В 1944 Академией наук СССР учреждена премия имени П.Л.Чебышева.

12.5. Неравенство Иенсена [1]

Теорема 12.2. Неравенство Иенсена

Пусть — случайная величина с областью значений , а — выпуклая вниз на функция. Тогда справедливо .

Доказательство. Из курса математического анализа известно, что функция выпуклая на тогда и только тогда, когда

в каждой точке . Запишем разложение в ряд Тейлора функции в окрестности точки с остаточным членом в форме Лагранжа

,

где точка, лежащая между и . Так как , то

.

Положим и :

.

Возьмем математическое ожидание от обеих частей последнего неравенства, в результате получим

.

Что и требовалось доказать.

Дата добавления: 2014-01-07