КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Элементарные свойства колец
Многие свойства колец являются переформулировками соответствующих свойств групп или более точно – множеств с одной бинарной операцией.
Из ассоциативности операции умножения вытекают следующие свойства кольца:
· в каждом кольце К произведение любых n его элементов не зависит от способа расстановки скобок; · в каждом кольце К содержатся целые положительные степени любого его элемента , причем для справедливы следующие равенства:
. (1)
Единственным условием в определении кольца, связывающим операции сложения и умножения, является дистрибутивность умножения относительно сложения.
Из дистрибутивности операции умножения относительно операции сложения непосредственно вытекает справедливость следующих теорем. Теорема 1. В любом кольце К дистрибутивные законы справедливы для любого конечного числа слагаемых: (2) (3) для любого . Доказательство. Доказательство справедливости равенств (2) и (3) аналогичны. Поэтому докажем справедливость только равенства (2).
При равенство (2) справедливо. Предположим, что равенство (2) справедливо и при и докажем, что оно справедливо и при . Пусть . Тогда .
Следовательно, в силу принципа математической индукции, равенство (2) справедливо для . Теорема 2. (Обобщенная дистрибутивность) В любом кольце К справедливо обычное правило умножения суммы на сумму (но без изменения порядка множителей): . (4) Доказательство. По предыдущей теореме имеем: . Теорема 3. (Операция вычитания) В любом кольце К для существует единственное решение уравнения Это решение называется разностью элементов b и a и обозначается b – a, а операция «–» называется операцией вычитания. Поскольку решением уравнения является элемент , то, следовательно, . (5) Теорема 4. В любом кольце К операция умножения дистрибутивна относительно операции вычитания:
. (6)
Доказательство. Действительно, . Поэтому . Отсюда, по закону дистрибутивности операции умножения относительно операции сложения, имеем . По определению разности . Аналогично доказывается и справедливость равенства . Теорема 5. (Умножение на нуль) В любом кольце произведение любого его элемента на нуль и нуля на элемент равно нулю:
(7)
Доказательство. Так как любое кольцо по операции сложения - абелева группа, то . Умножая полученное равенство справа и слева на , имеем:
.
Пусть предположим на момент, что , тогда мы получаем для . Это означает, что кольцо в этом случае является тривиальным и состоит только из одного элемента – нуля. Следовательно, в нетривиальном кольце всегда . Теорема 6. (Правило знаков). В любом кольце для справедливы следующие равенства:
(8) (9) Доказательство. Докажем (8). Действительно,
Таким образом, элемент является обратным (противоположным) к элементу и следовательно, . С другой стороны, .
Докажем (9). Учитывая, что , а также равенство (8) получаем
Замечание. Несмотря на всю очевидность этих свойств для числовых колец, не следует думать, что всякое свойство операций сложения и умножения чисел сохраняется для бинарных операций в произвольном кольце. Те свойства операций сложения и умножения чисел, которые не являются следствиями из аксиом кольца, в произвольном кольце могут и не иметь места. Более подробно мы остановимся на этом далее.
Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 737; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |