КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Подкольцо кольца
Определение. Подмножество кольца называется подкольцом кольца и обозначается , если является кольцом относительно операций сложения и умножения, определенных в кольце . В каждом кольце , очевидно, существуют следующие подкольца: · само кольцо ; · нулевое кольцо , где . Для выяснения, является ли данное подмножество кольца подкольцом этого кольца, можно воспользоваться следующей теоремой. Теорема. Для того, чтобы непустое подмножество кольца было его подкольцом, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
(10) (– подгруппа аддитивной группы кольца )
(11) (– подполугруппа мультипликативной полугруппы кольца ) Доказательство. Докажем необходимость условий. Предположим, что - подкольцо кольца . Пусть и – произвольные элементы подмножества . Тогда каждый из элементов кольца содержится в : если бы по крайней мере один из них не содержался бы в , то подмножество не было бы кольцом относительно операций, определенных на , и, следовательно, не было бы подкольцом кольца . Докажем достаточность условий. Предположим, что подмножество удовлетворяет условиям теоремы. Тогда в подмножестве определено понятие суммы и произведения, т.е. на подмножестве определены операции сложения и умножения. Эти операции на подмножестве ассоциативны, коммутативны и связаны дистрибутивным законом: Поэтому
Нулевой элемент 0 содержится в и для обратный (противоположный) элемент .
Действительно, пусть – произвольный элемент подмножества . Тогда т.е. и , т.е. . Таким образом, подмножество является кольцом относительно операций сложения и умножения, определенных на и, следовательно, является подкольцом кольца .
Примеры. 1. Кольцо четных целых чисел является подкольцом кольца целых чисел – . 2. Кольцо целых чисел является подкольцом кольца рациональных чисел – . 3. Кольцо рациональных чисел и кольцо , где, как и ранее, – множество чисел вида , являются подкольцами кольца действительных чисел – . Для любого семейства подколец произвольного кольца справедливо следующее утверждение. Теорема. Пересечение любого семейства подколец кольца является подкольцом кольца :
. (12) Доказательство. Нулевой элемент 0 кольца содержится в каждом из подколец, и, следовательно, содержится в их пересечении. Если – кольцо с единицей, то каждое подкольцо кольца также будет содержать единицу кольца, и, следовательно, и их пересечение будет содержать единицу кольца.
Пусть – произвольные элементы, принадлежащие . Элементы и , очевидно, содержатся в каждом из подколец . По определению, кольца, элементы и также содержатся в каждом из подколец , следовательно – удовлетворяет аксиомам кольца и является подкольцом кольца .
Пусть, как и ранее, произвольное множество содержится в каждом из подколец кольца : тогда можно определить минимальное подкольцо , содержащее заданное множество :
(13) Если – подкольцо кольца, то .
Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 342; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |