Кольцо многочленов

Кольцо классов вычетов

Важнейшие типы колец

Пусть – аддитивная группа целых чисел, а – подгруппа целых чисел, делящихся на без остатка.

Ранее мы показали, что разбиение группы по подгруппе определяет фактор-множество

, (14)

элементы которого являются классы вычетов по модулю или левые смежные классы аддитивной группы целых чисел по подгруппе где .

На множестве – классов вычетов по модулю определены операции сложения и умножения по модулю :

(15)

(16)

Так как выполнение этих операций сводится к соответствующим операциям над числами из классов вычетов, т.е. над элементами из _m, то будет коммутативным кольцом с единицей .

Определение. Кольцо называется кольцом классов вычетов по модулю m.

Вводя обозначения при фиксированном m, операции сложения и умножения можно записать в сокращённой форме:

(17)

(18)

При записи операций сложения и умножения на классе вычетов по модулю можно отказаться и от чёрточек и кружочков и оперировать с каким-либо фиксированным множеством представителей классов вычетов по модулю m.

Чаще всего в качестве такого множества представителей выступает множество , – которое называется приведённой системой вычетов по модулю m.

Пусть , тогда таблицы Кэли для операций сложения и умножения в кольце имеют вид:

					×

Кольцо классов вычетов по модулю играет в алгебре важную роль и служит отправным пунктом для многочисленных обобщений.

Пусть K – некоторое коммутативное кольцо.

Определение. Стандартным многочленом (или полиномом) степени от переменной x над коммутативным кольцом K называется выражение вида

, (23)

где .

Элементы называются коэффициентами многочлена. Все они, или часть из них, могут быть нулевыми.

Каноническая форма многочлена (7) определяется следующим образом.

Находим наибольшее , такое, что , скажем и запишем

(24)

Степенью многочлена называется это число , если оно существует. Если же все обращаются в нуль, то канонической формой многочлена является 0, а его степень –. Степень обозначается .

Пусть и - два многочлена.

В зависимости от того, какому из множеств принадлежат коэффициенты , различаются следующие типы многочленов:

· с булевыми коэффициентами ;

· с целочисленными коэффициентами ;

· с вещественными коэффициентами ;

· с рациональными коэффициентами ;

· с комплексными коэффициентами .

Лемма. Многочлены и равны тогда и только тогда, когда , при которых определены, а все остальные , равны нулю.

Пусть имеется два многочлена степени и степени .

Определение. Суммой многочленов и называется многочлен

(25)

где и

(26)

Определение. Произведением двух многочленов и называется многочлен

, (27)

где .

Пример. Пусть заданы два многочлена с булевыми коэффициентами т.е. .

Суммой многочленов является многочлен вида:

,

а произведением – многочлен :

Можно показать, что введенная операция умножения многочленов ассоциативна, следовательно многочлены образуют по операции умножения полугруппу, и эта полугруппа коммутативна.

Вывод. Многочлены с целочисленными коэффициентами образуют коммутативное кольцо. Можно показать, что многочлены с рациональными, вещественными и комплексными коэффициентами также образуют соответствующие кольца многочленов. В общем случае говорят о «кольцах многочленов над кольцом .

Дата добавления: 2014-01-07