Ый достаточный признак

Пример

Исследовать на возрастание и убывание функцию .

Решение.

Найдем производную , при .

+ – + у ¢

х

–1 0 1 у

Итак, функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке .

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , включая и саму точку .

Определение. Функция во внутренней точке области определения имеет локальный максимум (минимум), если найдется такая окрестность точки , в которой наибольшее (наименьшее) среди значений этой функции, т.е. для всех х из указанной окрестности.

Точка называется точкой максимума или минимума, а значение функции в этой точке максимумом или минимумом функции и обозначается:

.

Термин «локальный» (относительный) экстремум обусловлен тем, что введенное понятие экстремума связано с окрестностью данной точки в области определения, а не со всей этой областью. В дальнейшем слово «локальный» будем для краткости опускать.

Необходимые условия экстремума.

Теорема. Если функция в точке имеет локальный экстремум, то она в этой точке либо не дифференцируема, либо имеет в этой точке производную, равную нулю .

Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными.

Точки, в которых и точки, в которых функция не дифференцируема, называются критическими.

Достаточные условия экстремума.

Теорема 1. Пусть для функции точка является критической и пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки , исключая может быть точку , в которой она непрерывна. Тогда, если при переходе через точку производная меняет знак, то функция в точке имеет локальный экстремум. Если при этом знак меняется с «+» на «–», то в точке имеет локальный максимум; если же знак меняется с «–» на «+», то в точке имеет локальный минимум.

Пример. Исследовать на экстремум функцию .

Решение: .

.

+ – + у ¢

х

–1 0 1 у

– точка максимума, ,

– точка минимума, .

Вопрос 2. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба.

Пусть кривая задана уравнением и пусть функция в точке имеет конечную производную , т.е. в точке существует касательная к данной кривой, не параллельная оси оу (ибо угловой коэффициент ее конечен).

у у М₀

М₀

0 х 0 х

Определение. Будем говорить, что график функции , дифференцируемой на интервале , является выпуклым (вогнутым), если график этой функции в пределах интервала лежит не выше (не ниже) любой своей касательной.

Теорема. Если функция имеет на интервале конечную вторую производную и если эта производная положительна (отрицательна ) всюду на этом интервале, то кривая на интервале вогнута (кривая выпукла).

Пример. Найти участки выпуклости и вогнутости кривой .

Решение. ,

при , значит, кривая вогнута на ,

при , значит, кривая выпукла на .

Определение. Точка называется точкой перегиба кривой , если существует окрестность точки такая, что при из этой окрестности выпуклость кривой направлена в одну сторону, а при – в противоположную.

Теорема (Необходимый признак точки перегиба).

Точка может быть точкой перегиба кривой только если или не существует.

Теорема (достаточный признак точки перегиба).

Пусть функция в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки , имеет непрерывную вторую производную. Если в точке равна нулю или не существует и при переходе через точку производная меняет свой знак, то точка есть точка перегиба кривой .

Пример. Найти точки перегиба кривой .

Решение: .

; при , при , – абсцисса т.п., т.п. (сделать рисунок).

Вопрос 3. Асимптоты.

Определение. Прямая L называется асимптотой кривой , если при удалении точки М кривой в бесконечность (т.е. расстояние этой точки от начала координат неограниченно возрастает) расстояние от этой точки до прямой L стремится к нулю. (Асимптоты бывают 3-х видов)

Дата добавления: 2014-01-07