Горизонтальные асимптоты

Горизонтальная асимптота – частный случай наклонной асимптоты, когда .

Чтобы найти горизонтальные асимптоты графика функции, надо отыскать пределы:

.

Если эти пределы конечные и различные, то прямые будут горизонтальными асимптотами. Если какой-либо из этих пределов не существует или равен , то нет и соответствующей асимптоты.

Пример 1. Найти горизонтальные асимптоты кривой .

Решение.

, , следовательно, – уравнение горизонтальной асимптоты (сделать рисунок).

Пример 2. .

у

y= p ./ 2

0 x

  , следовательно, график функции имеет две асимптоты: для правой ветви , для левой ветви .

Вопрос 4. Общий план исследования функций и построения графиков.

Одна из возможных схем исследования функции и построения ее графика разлагается на следующие этапы решения задачи:

1. Область определения функции.

2. Точки пересечения с осями координат.

3. Четность, нечетность, периодичность функции.

4. Исследование функции на экстремум (интервалы монотонности функции, точки максимума и минимума).

5. Исследование на выпуклость, вогнутость. Точки перегиба.

6. Поведение функции на бесконечности. Точки разрыва функции. Асимптоты.

7. Вспомогательные точки.

8. Построение графика функции.

Пример 1. Построить график функции .

Решение.

1. .

2. Точки пересечения с осями координат: с Ох: , с Оу: .

3. Функция нечетная, т.к. , следовательно, график функции симметричен относительно начала координат. Функция непериодическая.

4. Исследование на экстремум: , при .

₊ – – ₊ у '

х

–3 0 3 у

, .

5. Исследование на выпуклость, вогнутость. Точки перегиба: , вторая производная обращается в нуль в точке .

– + – ₊ у ''

х

0 у

Т.П.

Т.П.: .

6. Точек разрыва:

1) Вертикальные: , т.к..

2) Наклонные: , ,

.

3) Горизонтальных асимптот нет, т.к. .

7. Вспомогательные точки: .

8. График функции:

Дата добавления: 2014-01-07