Применительно к асинхронному двигателю

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННОЙ МАШИНЫ

Введение. Несмотря на большое многообразие электрических машин, их объединяет общее – в них происходит преобразование энергии из механической энергии в электрическую энергию и обратно. Это преобразование для всех электрических машин описывается сходными уравнениями. С момента промышленного использования электрических машин началось создание их теории, которая шаг за шагом накапливала в себе достижения многих ученых и переросла в фундаментальную теорию электрических машин, опирающуюся на комплексные выражения, векторные диаграммы и схемы замещения. В этой теории не последнее место отведено изучению машин переменного тока, в частности, асинхронного трехфазного электродвигателя, о котором в дальнейшем будут изложены некоторые теоретические и практические сведения и предпосылки.

Общие положения. Во всех типах электрических машин осуществляется преобразование энергии из электрической энергии в механическую энергию и обратно. Причем для этого процесса характерно взаимное перемещение ферромагнитных частей с расположенными на них катушками. Наиболее распространенной формой этих частей является неподвижная цилиндрическая часть, называемая статором, и подвижная часть, называемая ротором. Эти две части разделены воздушным зазором. Обмотки этих частей располагаются как можно ближе к воздушному зазору, поскольку электромеханическое преобразование энергии осуществляется там. Все процессы преобразования энергии определяются токами, протекающими в контурах статора и ротора, а также распределением намагничивающей силы в воздушном зазоре. В силу этого, распределение электрических машин на типы вполне условно и четкой границы между ними провести нельзя. Например, синхронная машина может работать как асинхронная, асинхронная машина может быть использована как трансформатор и т. д.

Поскольку основные процессы преобразования энергии осуществляются в воздушном зазоре, то очень важным является необходимое распределение магнитного поля в нем, что связано с определенным расположением проводников вдоль зазора. Оптимальным считается синусоидальное распределение магнитной индукции с целью получения кругового вращающего поля. В машинах переменного тока синусоидальное распределение магнитной индукции статора достичь за счет конструирования различного типа обмоток при равномерном зазоре, а в машинах постоянного тока – профилированием воздушного зазора.

Значение магнитной индукции в магнитопроводе машины выбирается по технико-экономическим соображениям так, чтобы рабочая точка лежала на колене кривой намагничивания, которая описывается нелинейной зависимостью. Но поскольку основное электромеханическое преобразование происходит в воздушном зазоре эту зависимость достаточно корректно можно линеаризировать.

Сделав такие предположения, можно говорить о модели обобщенной машины, представляющей двухполюсную двухфазную, симметричную идеализированную электрическую машину. Эта машина имеет две пары обмоток на статоре и роторе, сдвинутые в пространстве на 90° и питающиеся токами, сдвинутыми во времени на 90° (рис. 1). В большинстве технической литературе принято одну ось обобщенной машины обозначать a, другую – b. Целесообразным считается расположение одной пары обмоток по оси какой-либо из обмоток реальной машины. Например, для обобщенной модели асинхронного трехфазного двигателя – ось a располагать по оси обмотки фазы А.

Таким образом, идеализированная машина имеет гладкий воздушный зазор, ненасыщенную магнитную цепь и при питании синусоидальным напряжением имеет синусоидальное распределение магнитного поля в воздушном зазоре. Выполнить такую машину трудно, но представить – легко. Обобщенная машина представляет собой математическую модель позволяющую подойти к анализу рабочих процессов реальной машины.

Рассмотрим, как с помощью метода обобщающих векторов преобразовать реальную многофазную (в рассматриваемом случае трехфазную асинхронную машину) в обобщенную машину. Применение векторной формы записи дифференциальных и операторных уравнений, описывающих поведение асинхронной машины, уменьшает число уравнений и переход записей из одной системы координат в другую. Метод обобщающих векторов учитывает действие всех гармонических составляющих. Он является более строгим и универсальным методом для анализа статических и динамических процессов в двигателе.

Использование этого метода предполагает следующие допущения:

1. Распределение магнитного поля вдоль воздушного зазора синусоидально;

2. Потери в стали статора и ротора отсутствуют;

3. Обмотки статора и ротора симметричны и сдвинуты относительно друг друга на 120 электрических градусов;

4. Напряжение, приложенное к обмоткам статора, трех фазное и симметричное, так что соблюдается условие u_а + u_b + u_c = 0, где u_а, u_b, u_c – мгновенные значения напряжения соответственно фаз А, В и С.

Для каждой из фаз статора и ротора асинхронного двигателя справедливы записанные в естественных или фазовых не преобразованных координатах следующие уравнения

, ,

, , (1)

, ,

где R_s; R_r – активное сопротивление фазы статора (s) и ротора (r),

y – потокосцепление фазы.

Для нахождения потокосцепления, например, фазы А, необходимо учесть поток, создаваемый током этой фазы i_sa, а также потоки создаваемые токами других фаз статора i_sb, и i_sc, и ротора i_ra, i_rb, и i_rc. Обозначим взаимную индуктивность попарно расположенных друг против друга фазных обмоток статора и ротора через l_sr (l_sr = l_sm = l_rm), получим:

(2)

где L_s=L_{s s} + M – полная эквивалентная индуктивность фазы статора, состоящая из индуктивности от поля рассеивания (L_{s s}) и главного потока (М), M = 1,5 l_sr =1,5 l_sm.

Но обмотки фаз статора и ротора в общем случае могут располагаться под углом θ _r. Для такого взаимного положения обмоток уравнения примут следующий вид в матричной записи:

х

(3)

Уравнения (3) содержат коэффициенты гармонического характера, зависящие от времени. Это затрудняет аналитические расчёты. Применение метода обобщающих векторов для преобразования системы уравнений с переменными коэффициентами в системы уравнений с постоянными коэффициентами позволит упростить их запись. Суть метода заключается в том, что реальные переменные статора и ротора (например, потокосцепления, напряжения или токи и т. д.) в любой момент времени заменяются их проекциями на взаимно перпендикулярные оси координат, вращающиеся в пространстве с произвольной скоростью. Рассмотрим образование общего магнитного потока, существующего в реальной машине. Он вращается в воздушном зазоре с частотой, определяемой совместно действующими магнитодвижущими силами отдельных фаз. Мгновенные значения магнитодвижущих сил отдельных фаз выражаются уравнениями:

(4)

где F_m и - амплитуда и начальная фаза магнитодвижущей силы.

Результирующий вектор магнитодвижущих сил обмоток машины при любом пространственном угле q относительно одной оси, принятой за начало отсчёта с учётом расположения обмоток в пространстве под углом 2p/3 (рис. 2), определится выражением

(5)

где k – коэффициент пропорциональности.

Обозначим , . Тогда выражение (5) запишется в виде:

(6)

Из рис. 2 наглядно видно, что значение обобщающего вектора равно:

Поскольку амплитуда вектора должна быть равной амплитуде синусоидальной волны, значение k выбирается равным 2/3. Окончательно, положив значение угла q = 0, имеем

(7)

Аналогичным образом можно определить и обобщающий вектор тока, который пропорционален вектору магнитодвижущей силы, а именно

(8)

То же самое уравнение записывается для напряжений и потокосцеплений

(9)

(10)

Запись вектора потокосцепления статора можно выполнить путём преобразований системы уравнений (3). Для этого первое уравнение системы умножается на 2/3, а второе на (2/3) a, третье на (2/3) a ². Полученные уравнения суммируются и, учитывая, что i_ra + i_rb + i_rc = 0, а L_m = 1,5 l_sr, и, заменяя тригонометрические функции показательными, получим:

(11)

Для вектора потокосцепления ротора аналогичным путём получится следующее выражение

(12)

Анализируя выражение (1.11), видна зависимость потокосцепления статора от токов статора и ротора, а также от индуктивностей различных контуров машины. То же самое можно сказать в отношении ротора (выражение (12)).

Используя этот приём, можно уравнения (1) записать в векторной форме:

,

или (13)

Для ротора будем иметь:

(14)

Следует указать, что величины, входящие в уравнение напряжения статора, даны в системе координат статора, а ротора – в системе координат ротора.

Уравнения машин в различных системах координат. Полученные уравнения при исследованиях работы электрической машины необходимо решать совместно. Для этой цели их следует привести к одной системе координат. При преобразовании должна соблюдаться инвариантность потерь и мощности на валу преобразованной и реальной машины. Приведение уравнений может быть выполнено к следующим системам координат:

– к системе координат, жёстко связанной с осями обмоток статора (система координат статора);

– к системе координат, жёстко связанной с осями обмоток ротора (система координат ротора);

– к системе координат, жёстко связанной с осью вращающегося магнитного поля статора или ротора;

– к системе координат, вращающейся с произвольной скоростью.

Рассмотрим эти преобразования. Обозначим через q угол между соответствующими осями неподвижной и вращающейся системы координат, рис. 3.

Угловая скорость этой системы координат равна d q/ dt = w. Если взять, например, вектор тока статора, то его положение может быть определено: углом a _s (в системе координат статора); углом a _r (в системе координат ротора) или углом a_к (в системе, вращающейся с произвольной скоростью). В свою очередь положение системы координат, вращающейся с произвольной скоростью, характеризуется углом q_к, а системы координат ротора q_к – q. Для перевода вектора из одной системы координат в другую следует сохранить его длину, умножив её на единичный вектор, определяющий относительное угловое положение систем координат. Это даёт, например, для вектора тока следующее выражение , где – вектор тока в неподвижной, а – вектор тока во вращающейся системах. Аналогичные действия для других систем координат видны из табл. 1

Таблица 1.

Дата добавления: 2014-01-07