Числовые ряды. Решение многих задач сводится к вычислению значений функций и интегралов или к решению дифференциальных уравнений

Ряды.

Решение многих задач сводится к вычислению значений функций и интегралов или к решению дифференциальных уравнений, содержащие производные или дифференциалы неизвестных функций.

Однако точное выполнение указанных математических операций во многих случаях оказывается весьма затруднительным или невозможным. В этих случаях можно получить приближенное решение многих задач с любой желаемой точностью при помощи рядов.

Ряды представляют простой и весьма совершенный инструмент мат. анализа для приближенного вычисления функций, интегралов и решений дифференциальных уравнений.

Пусть - числовая последовательность.

Опр. 1

Выражение (1) называется числовым рядом При этом числа - члены ряда, - общий или n -ый член ряда.

Пример 1

Опр. 2

Сумма первых n членов ряда (1) называется n -ой частичной суммой этого ряда

Опр. 3

Ч.р. Членами которого являются все члены исходного ряда (1) начиная с (n – 1) – го, и взятые в том же порядке, называется n -ым остатком ряда (1)

Для любого ряда может быть построена последовательность его частичных сумм которая, как и всякая последовательность, может сходиться или расходиться.

Опр. 4

Ч.р. называется сходящимся, если сходится ч.п. его частичных сумм. (в противном случае ряд называется расходящимся) При этом число называется суммой ряда.

Дата добавления: 2014-01-07