Многошаговые методы

Лекция 23

§ 23.1. Явные многошаговые методы Адамса.

Этот класс методов легко получить из общей разностной схемы линейных многошаговых методов

и условий корректного выбора коэффициентов

Полагая р = n -1, а ₁ = а ₂ =… = а_п = 0, b _-1 = 0, получим разностную схему явного многошагового метода порядка п

где коэффициенты, их всего n + 1, однозначно определяются из п + 1 условия корректности.

Из первого условия корректности находим а ₀ =1.

Обозначим b_i = . Эта запись подчеркивает, что значение коэффициента b_j зависит от порядка метода. Чтобы определитьподставим значения , ₀ = 1, а_i =0, в оставшиеся п условий корректности:

Получили систему из п линейных алгебраических уравнений относительно

.

Запишем явные методы Адамса различных порядков.

1. п = 1. Коэффициент = 1 и

Разностная схема явного метода Адамса первого порядка совпадает с разностной схемой явного метода Эйлера.

2. п = 2. Соотношения для являются системой из двух линейных алгебраических уравнений

Следовательно, |(2) = 1/2,(2) = 3/2, и разностная схема явного метода Адамса второго порядка принимает вид

3. = 3. Относительно (3), = 0,2, запишем систему линейных алгебраических уравнений третьего порядка

из которой следует, что (3) = 5/12, (3) =16/12. (3) = 23/12. В результате разностная схема явного метода Адамса третьего порядка записывается следующим образом:

Этот процесс записи разностных схем явных многошаговых методов более высоких порядков точности можно продолжить и далее.

Не останавливаясь на выводе, приведем выражение для локальной погрешности явных многошаговых методов Адамса порядка п:

где -- постоянный коэффициент, величина которого зависит от метода, в частности =1/2, С₂ =5/12, С₃ =3/8; -- значение (+ 1)-и производной функции u(t) в точке .

Дата добавления: 2014-01-07