Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения

Выборочные характеристики и точечные оценки характеристик генеральной совокупности: выборочная средняя, оценка дисперсии, оценка среднего квадратического отклонения (стандартное отклонение). Оценка среднего квадратического отклонения выборочной средней (ошибка среднего).

Выборочные характеристики:

Средняя выборочная – среднее арифметическое значений x₁, x₂, …, x_n признака выборочной совокупности:

- для несгруппированных данных

и для сгруппированных

Выборочная дисперсия:

- для несгруппированных данных

и для сгруппированных:

выборочное среднее квадратическое отклонение:

Характеристики генеральной совокупности - математическое ожидание, генеральная дисперсия, генеральное среднее квадратическое отклонение. По выборочным данным мы можем сделать оценки этих параметров. Точечная оценка определяется одним числом. Она должна удовлетворять определенным требованиям: быть несмещенной, эффективной и состоятельной. Наиболее важным является требование несмещенности. Выборочная средняя является несмещенной оценкой математического ожидания. Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии; домножив ее на множитель , получим исправленную дисперсию – несмещенную оценку генеральной дисперсии:

Несмещенная оценка генерального среднего квадратического отклонения: называется стандартным отклонением.

Оценками S и S² пользуются обычно при малых выборках (n<30), при больших объемах можно пользоваться выборочными характеристиками D_в и .

Оценка среднего квадратического отклонения выборочной средней (ошибка среднего):

Интервальной оценкой называют множество точечных оценок, которое зависит от результатов наблюдений и, следовательно является случайным. Поэтому каждой интервальной оценке ставится в соответствие вероятность (доверительная вероятность или надежность), с которой эта оценка накроет неизвестный параметр. Наиболее часто пользуются значениями 0,9; 0,95; 0,99; 0,999. При исследованиях в фармации, медицине, биологии доверительную вероятность принимают 0,95. Интервальной оценкой является так называемый доверительный интервал. Говорят, что доверительная вероятность характеризует степень нашей уверенности в том, что доверительный интервал покроет неизвестный параметр.

Нахождение доверительного интервала для оценки математического ожидания нормального распределения.

Полуширина доверительного интервала .

- коэффициент Стьюдента, который зависит от числа степеней свободы f=n-1 и доверительной вероятности , его находят по таблицам.

Доверительный интервал можно записать:

или

или .

При этом можно заметить, чем больше доверительная вероятность, тем будет больше и тем шире будет доверительный интервал.

Дата добавления: 2014-01-07