Оценка случайных погрешностей при прямых и косвенных измерениях

Следует помнить, что никакое измерение не может быть выполнено абсолютно точно. Его результат содержит всегда некоторую ошибку. Поэтому в задачу измерений входит не только нахождение самой величины, но также и оценка допущенной при измерении погрешности.

а) Типы ошибок.

Ошибки измерений принято подразделять на систематические, случайные и промахи.

Систематические ошибки вызваны факторами, действующими одинаковым образом при многократном повторении одних и тех же измерений. Причиной систематических погрешностей может быть: несовершенство приборов, неточная установка стрелки прибора в нужной плоскости, смещение шкалы прибора, неточной установкой стрелки в нулевое положение, недостаточной чувствительностью прибора, не учетом электрических, магнитных и тепловых полей и т.д.

Эти погрешности не описываются методами математической статистики. Их оценивают путем сопоставления показания приборов с эталонным, учетом факторов, влияющих на результат измерений.

Случайные ошибки порождаются неточностью отсчетов, которую может допустить всякий экспериментатор из-за несовершенства наших органов чувств. Они обнаруживаются путем повторных измерений, дающих зачастую ряд различных числовых значений.

Грубые ошибки или промахи. Под промахом понимается ошибка, сделанная вследствие неверной записи показаний прибора или другого просчета, связанного с неаккуратностью экспериментатора. Они заметно отличаются от других измерений и весьма легко выявляются повторными измерениями или др. экспериментатором.

Часто стараются произвести измерения с наибольшей достижимой точностью, т.е. сделать ошибку измерения по возможности малой. Однако следует иметь в виду, что чем точнее мы хотим измерить, тем труднее это сделать. Поэтому не следует требовать от измерений большей точности, чем это необходимо для решения поставленной задачи. Для того чтобы этого достичь, нужно руководствоваться определенными правилами и приемами при производстве самих измерений и обработке полученных результатов. Всякий эксперимент включает чаще всего несколько измерений.

Принято различать прямые и косвенные измерения. При прямых (непосредственных) измерениях находится данная величина путем сравнения ее с однородной с ней величиной принятой за единицу. При косвенных измерениях определяемая величина вычисляется по результатам прямых измерений других величин, которые связаны с ней какой-либо функциональной зависимостью.

При математической обработке экспериментальных данных широко применяют методы теории вероятностей. Теория вероятностей изучает закономерности случайных явлений, поэтому она применима при расчете случайных погрешностей, так как дает возможность не только найти наиболее вероятное значение измеряемой величины, но и оценить отклонение полученного результата от истинного значения измеряемой величины.

Поскольку случайные ошибки отмечаются видом закона распределения, будем дальнейшие рассуждения проводить для случая нормального закона.

Для оценки величины случайной ошибки измерения существует несколько способов. Наиболее распространена оценка с помощью стандартной или среднеквадратичной ошибки (стандарт измерения).

б) Анализ результатов прямых измерений.

Допустим, что мы произвели n прямых измерений некоторой величины X, истинное значение этой величины .

Предлагается следующий порядок операций:

1. Результаты каждого измерения записываются в таблицу.

2. Вычисляется среднее значение из n измерений

3. Находится погрешность отдельных измерений

4. Вычисляются квадраты погрешностей отдельных измерений ()².

5. Находится исправленная (для п<30) дисперсия измеряемой величины

6. Вычисляются исправленное среднее квадратическое отклонение, равное средней квадратичной ошибке отдельного измерения или стандарт отклонения.

7. Находится наибольшая возможная ошибка отдельного измерения

8. Вычисляют среднюю квадратическую ошибку среднего арифметического (ошибка среднего).

Отсюда видно, чтобы уменьшить (увеличить точность измерений в 2 раза, мы должны вместо 1 сделать 4 измерения, или чтобы повысить точность в 3 раза надо провести 9 измерений).

9. Определяется приборная погрешность и сравнивается с и если они сравнимы, то находится полная погрешность.

10. Находят точность прямого измерения - абсолютную величину разности между истинным значением измеряемой величины (т.е. ее математическим ожиданием ) и средним значением (абсолютную ошибку измерений):

- коэффициент Стьюдента для доверительной вероятности и числа степеней свободы f=n-1. Здесь вместо математического ожидания можно использовать обозначение x истинного значения измеряемой величины. В дальнейшем мы так и поступим.

При небольшом числе измерений средняя квадратическая среднего арифметического измерений может оказаться грубой. Поэтому Стьюдент (англ. математик и химик Госсет) указал на возможность и при малом количестве измерений определить для любой доверительной вероятности.

В медицине , в технике - 0,99.

11. Находим доверительный интервал, в который попадает истинное значение измеренной величины x. Доверительный интервал – интервал, в который попадает истинное значение x измеряемой величины с заданной вероятностью.

Надежностью результата серий измерений наз. вероятность того, что истинное значение x измеряемой величины попадает в данный доверительный интервал. Она выражается в долях единицы или в %.

;

окончательный результат записывают так:

12. Относительную ошибку определяют по формуле:

в) Анализ результатов косвенных измерений.

Большинство величин определяют с помощью формул через другие величины, которые мы можем измерить непосредственно. Ошибка в этом случае зависит не только от ошибок, допущенных при непосредственных измерениях, но и от вида той математической формулы, которая связывает данную величину с величинами, измеренными непосредственно.

Для оценки истинного значения измеряемой величины пользуются приемами дифференциального исчисления, считая искомую величину функций, а величины непосредственно измеряемые – ее аргументами т.е.

Для оценки истинного значения косвенно измеренной на опыте величины поступают следующим образом.

1. Вычисляют среднее значение косвенно измеренной величины путем подстановки в расчетную формулу средних значений величин непосредственно измеренных

2. Вычисляют среднюю квадратичную ошибку косвенно измеренной величины

- средняя квадратическая ошибка среднего арифметического непосредственно измеренных величин;

в этой формуле частные производные должны быть взяты в точках и т.д.

3. Затем вычисляют абсолютную погрешность измерений:

можно заменить обозначение на y:

4. Доверительный интервал:

;

окончательный результат записывают так:

5. Относительную ошибку определяют по формуле:

Дата добавления: 2014-01-07