Угол между прямой и плоскостью

Прямая линия в пространстве.

Тема: Плоскость. Прямая линия в пространстве. Их взаимное расположение.

Лекция № 5

Плоскость однозначно определена в пространстве, если она проходит через известную точку перпендикулярно некоторому заданному вектору:. Пусть имеется произвольная, тогда вектор:. Отсюда уравнение плоскости: или после раскрытия скобок, получим:. Последние уравнения носят название общего уравнения плоскости, проходящей через и имеющей нормальный вектор.

Если хотя бы один из коэффициентов: равен нулю, то уравнение плоскости носит название неполного уравнения плоскости. Так, если, то плоскость проходит через начало координат.

Если, т.е. уравнение имеет вид:, то плоскость параллельна оси, если соответственно: –плоскость параллельна оси,, то плоскость параллельна плоскости и.т.д.

Пример1: Составить уравнение плоскости, проходящей через известную точку параллельно плоскости:.

В качестве нормального вектора к плоскости, имеем вектор:, т.к. он является нормалью к искомой плоскости, поэтому, уравнение этой плоскости:. # Пример2: Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки:,,.

Пусть – произвольная точка, принадлежащей плоскости P. Тогда все четыре точки принадлежат плоскости, а значит смешанное произведение трёх векторов, их соединяющих, равно нулю, т.е.

Углом между двумя плоскостями называется угол между их нормальными векторами:. Две плоскости, т.е. если:

#

Прямая линия в пространстве может определена как линия пересечения двух плоскостей:

.

От общих уравнений прямой линии можно перейти к каноническим уравнениям. Для этой цели необходимо иметь фиксированную точку и направляющий вектор. Координаты точки легко найти из данной системы уравнений, выбрав одну из координат произвольным образом, две другие получаем, решая данную систему двух уравнений.

Для отыскания направляющего вектора прямой заметим, что: и, т.е., т.к.

Пример 3: Привести к каноническому виду общее уравнение прямой в пространстве:.

Выберем одну из координат произвольной, например:

Подставляя её в систему уравнений, получим:.. Найдём:,

Т.е. вектор является для нашей прямой направляющим:

– каноническое уравнение прямой. Можно получить и параметрические уравнения прямой линии:.

Углом между двумя прямыми в пространстве называется угол между их направляющими векторами, откуда следуют условия:. По аналогии прямой на плоскости, уравнение прямой, проходящей через 2 точки::

. #

Пусть заданы: прямая в пространстве, где вектор: - направляющий вектор прямой и уравнение плоскости P:, где. Углом между прямой и плоскостью P, называется угол, образованный прямой и её проекцией на плоскость. Считаем, что. или. Условие:

Условие::

Дата добавления: 2014-01-07