Первая теорема Фробениуса

Из теорем 1 и 2 следует, что условия теоремы 1 являются достаточными для интегрируемости уравнения (2.3.5).

Теорема 2

Если левая часть уравнения (2.3.5):

(2.3.5)

является полным дифференциалом некоторой функции в области , то уравнение (2.3.5) вполне интегрируемо.

Доказательство теоремы 2 приведено в Дополнении 2 к п. 3 §3 (см. стр. 35).

Укажем теперь необходимые и достаточные условия интегрируемости уравнения (2.3.5) в общем случае, когда левая часть уравнения (2.3.5) не является полным дифференциалом. Они даются теоремой Фробениуса.

Теорема 3 (первая теорема Фробениуса)

Для того чтобы уравнение (2.3.5)

(2.3.5)

было вполне интегрируемо, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия хотя бы для одного индекса , , для которого :

(2.3.19)

для всех , причем и .

Тождества рассматриваются относительно переменных во всей области задания коэффициентов уравнения (2.3.5).

Вообще говоря, тождества (2.3.19) можно рассматривать и при значениях индекса либо индекса .

Легко проверить, что при либо при тождества (2.3.19) выполняются.

Поэтому смысл последней оговорки в условиях теоремы (оговорка, что и ) заключается в том, что нет нужды строить левые части (2.3.19) для значений и , совпадающих с индексом , потому что при либо при тождества (2.3.19) всегда выполняются.

Тождество (2.3.19) выполняется также и при .

Кроме того, условия (2.3.19) симметричны относительно равенства .

Поэтому, по существу, условия (2.3.19) следует рассматривать только при одном из неравенств: при либо при .

Вывод формулы (2.3.19) дается в Дополнении 3 к п. 3 §3 (см. стр. 39) при доказательстве необходимости условий теоремы 3.

Дата добавления: 2014-01-07