Вторая теорема Фробениуса

Определение 7

Определение 6

Вектор-функция , удовлетворяющая определению 5,называется решением задачи Коши системы уравнений (2.3.35), проходящим через точку .

Система (2.3.35) называется вполне интегрируемой в области , если она интегрируема при любых .

Необходимые и достаточные условия интегрируемости системы (2.3.35) даются второй теоремойФробениуса.

Теорема 4 (вторая теорема Фробениуса)

Для того чтобы система (2.3.35)

(2.3.35)

была вполне интегрируема в области , необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

(2.3.36)

для всех ;.

Тождества (2.3.36) рассматриваются по всем значениям переменных , в области .

Вывод формулы (2.3.36) дается в Дополнении 5 при доказательстве необходимости условий теоремы 4 (см. стр. 48).

4.4. Пример интегрируемой системы, состоящей
из двух неинтегрируемых связей

Обратимся к примеру из предыдущего пункта (п.3º).

Приведем систему (2.3.32)

(2.3.32)

к виду (2.3.35):

. (2.3.35)

Обозначим

, , .

Тогда, разделив первое и второе уравнения на , придем к системе:

,

.

Правые части определены при всех , кроме множества

.

Имеем

, ,

, .

Проверим выполнение условий второй теоремы Фробениуса:

(2.3.36)

для всех ;.

Полагаем для связи с номером значения индексов и :

а) ; б) .

Следует заметить, что условия Фробениуса симметричны относительно при любом фиксированном .

Поэтому проверять их можно только для значений (или ).

В нашем случае достаточно рассмотреть только (при ).

Запишем левую часть условия (2.3.36):

(2.3.36)

при , с учетом того, что:

, ,

, .

Получим

.

Легко видеть, что она приводится к виду:

. (2.3.42)

Вычислим правую часть условий Фробениуса (2.3.36):

(2.3.36)

для , с учетом того, что:

, ,

, .

Получим

. (2.3.43)

Сопоставляя (2.3.42) и (2.3.43):

, (2.3.42)

видим, что условия Фробениуса для выполняются.

Проверим эти условия для и .

Вычислим левую часть (2.3.36):

(2.3.36)

с учетом того, что:

, ,

, .

Получим:

.

Аналогично находим выражение для правой части

.

Сопоставляя левую:

и правую части, видим, что они совпадают, т.е. условия Фробениуса для выполняются.

Таким образом, выполнены все условия второй теоремы Фробениуса. Поэтому система (2.3.32):

(2.3.32)

вполне интегрируема при .

Пример показывает, что если уравнение хотя бы одной дифференциальной связи не интегрируемо, то это еще не значит, что в совокупности с другими уравнениями связей оно не будет интегрируемо.

Дата добавления: 2014-01-07