Доказательство. Докажем необходимость условий (2.3.6), (2.3.7)

Докажем необходимость условий (2.3.6), (2.3.7).

Пусть левая часть уравнения (2.3.5) есть полный дифференциал некоторой функции , определенной в области .

Это значит, что:

1) функция — непрерывно дифференцируема (ибо
существует ее полный дифференциал);

2) ее дифференциал имеет вид

. (2.3.8)

Здесь — дифференциалы переменных , т.е. (по определению дифференциала) — это независимые сколь угодно малые произвольные величины.

· Доказательство выполнения тождеств (2.3.6):

, . (2.3.6)

Согласно нашему условию, правая часть формулы (2.3.8) при всех значениях и дифференциалов , , совпадает с левой частью уравнения (2.3.5):

. (2.3.5)

Иначе говоря, при всех значениях и дифференциалов , , выполняется равенство

.

Отсюда в силу произвольности , , для всех значений из области получаем

, . (2.3.9)

Этим доказана справедливость тождеств (2.3.6).

· Доказательство выполнения тождеств (2.3.7):

для всех . (2.3.7)

Поскольку коэффициенты , , в уравнении (2.3.5) непрерывно дифференцируемы, то из тождеств (2.3.9) следует непрерывная дифференцируемость функций по переменным .

В свою очередь, это означает, что функция должна быть дважды непрерывно дифференцируема по переменным .

Кроме того, из непрерывности смешанных производных второго порядка от функции следует справедливость
тождеств

для всех . (2.3.10)

Дифференцируя (2.3.9) по :

, , (2.3.9)

получаем

. (2.3.11)

Запишем условие (2.3.9) для индекса и продифференцируем это соотношение по переменным .

Получим

. (2.3.12)

Подставляя (2.3.11) и (2.3.12) в тождества (2.3.10), приходим к тождествам (2.3.7):

для всех . (2.3.7)

Дата добавления: 2014-01-07