Связь между потенциалом и напряженностью электрического поля

Найдем связь потенциала с напряженностью электрического поля.

Пусть заряд перемещается из точки 1 в точку 2, которые располагаются на оси OX. Тогда электрическое поле совершит работу:

или .

Для бесконечно малого перемещения: . В случае смещения по трем координатам: Тогда связь между напряженностью и потенциалом электрического поля определяется соотношением: , где – оператор Набла, grad – векторный оператор, называемый «градиент».

Для выяснения геометрического смысла вводится понятие эквипотенциальных поверхностей или поверхностей равного потенциала. Эквипотенциальная поверхность есть такая поверхность, на которой потенциал остается постоянным. Потенциал может меняться только при переходе от одной эквипотенциальной поверхности к другой.

Возьмем на эквипотенциальной поверхности произвольную точку О и введем систему координат, начало которой совместим с точкой О. Ось ΟΖ направим по нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону возрастания потенциала . То же направление примем за положительное направление . Координатная плоскость YX совместится с касательной плоскостью к эквипотенциальной поверхности. Тогда в точке Ο . Кроме того: , , тогда: .

Функция возрастает наиболее быстро в направлении нормали . Поэтому: градиент функции есть вектор, направленный в сторону максимального возрастания этой функции, а его длина равна производной функции в том же направлении.

При движении вдоль эквипотенциальной поверхности потенциал поля не изменяется, поэтому элементарная работа при этом: . Вместе с тем, элементарная работа определяется соотношением при движении вдоль эквипотенциальной поверхности. Отсюда следует, – напряженность электростатического поля направлена перпендикулярно к эквипотенциальной поверхности. Следовательно, и силовые линии электростатического поля направлены перпендикулярно эквипотенциальным поверхностям.

Вектор направлен противоположно вектору градиента потенциала . Электрические силовые линии являются, таким образом, линиями, вдоль которых потенциал изменяется наиболее быстро. Они направлены по нормали к эквипотенциальным поверхностям. Обычно их чертят так, что при переходе от одной эквипотенциальной поверхности к соседней потенциал получает одно и то же приращение .

Внутри проводника , а поэтому потенциал должен иметь одно и то же значение во всех точках проводника. Здесь эквипотенциальная поверхность вырождена в эквипотенциальный объем.

Дата добавления: 2014-01-07