Предел функции в точке. Тема: Предел функции в точке

Тема: Предел функции в точке. Бесконечно малые функции. Порядковые и алгебраические свойства пределов.

Лекция № 8

Рассмотрим непрерывную функцию. График функции изображается одним непрерывным движением мела без отрыва от доски. Рассмотрим произвольную, наряду с ней рассмотрим - близкую к рассматриваемой точке x. –приращение аргумента. Соответствующее значение –называется приращением функции f в точке x, соответствующим приращению. Так:.

Если будем уменьшать приращение аргумента, т.е., тогда.

Рассмотрим теперь график функции:, он состоит из 2–х непрерывных участков: и. Однако, эти участки не соединены непрерывно и поэтому естественно его называют разрывным графиком. При этом – точка разрыва графика функции. Заметим, что если, то.

Функция, заданная на отрезке называется непрерывной в, если приращение её в точке этого отрезка, соответствующего приращению, стремится к нулю при любом способе стремления, т.е.

Пример 1. Рассмотрим функцию: и проанализируем её поведение при:

X	1,0	1,5	1,8	1,9	1,99	1,999	….
y	1,0	2,25	3,24	3,61	3,9601	3,996001	….

Пример 2. Если же рассмотреть функцию: при, то не ясно, к какому значению будет стремиться значение функции.

«»–окрестностью точки называется множество точек, отличающихся от точки менее, чем на величину, т.е..

Проколотой «»–окрестностью точки называется «»–окрестность точки за вычетом самой точки, т.е..

Число называется пределом функции в точке и пишется:, если:

· Функция определена в некоторой проколотой окрестности;

· такое, что или:

такое, что.

Пример 3.. Покажем,пользуясь определением предела, что.

Рассмотрим:. Если выберем произвольное сколь угодно малое число, то по нему можно определить число, такое, что:, для этого достаточно взять в качестве или.

Пример 4. Рассмотрим функцию Дирихле:. Предел такой функции не существует, т.к. в любой сколь угодно малой окрестности есть рациональное и иррациональное число. Т.е. функция ни к какому предельному значению не стремится.

Теорема 1: (об единственности предела).

Если функция имеет предел, то этот предел единственный.

Доказательство:

Пусть существуют два различных значения предела:.

По определению предела: такое, что. Аналогично: такое, что. Выберем в качестве, тогда рассмотрим:, т.е. значение может быть сколь угодно малым при. #

Следствие: Если две функции равны в некоторой проколотой окрестности, то равны и их пределы, т.е. если.

Пример 5. Рассмотрим, т.к..

Теорема 2: Если функция имеет конечный предел при, то эта функция ограничена в окрестности.

Доказательство:

Пусть, тогда такое, что. Т.к., то. Это и есть условие ограниченности функции её предельным значением в окрестности.#

Теоремы о бесконечно малых функциях

Функция называется бесконечно малой функцией (Б.М.)при, если или в символьной записи:.

Пример 6. а). – Б.М. при

б). – Б.М. при

Теорема 3: Если - Б.М. функции при, то - Б.М. функции при.

Доказательство:

Пусть - Б.М. функция при, - Б.М. функция при.

Положим:, тогда: #

Теорема 4: Произведение бесконечно малой функции на ограниченную есть бесконечно малая функция.

Доказательство:

Пусть - б.м. функция при,. Тогда из определения б.м.. Далее: в качестве выбираем, тогда:, если, т.е. произведение функций: - есть б.м. при. #

Пример 2 (возвращение к раннему примеру): Рассмотрим функцию:. Функция при является функцией ограниченной; - также ограниченная функция при, но функция - является б.м. при б.м. функция.

Следствие: (из теоремы): Произведение б.м. функций при есть б.м. функция при.

Дата добавления: 2014-01-07