Непрерывные функции

Теорема 3:.

Односторонние пределы

Первый замечательный предел

Пример 1.Рассмотрим:.

Предел сложной функции в точке

Второй замечательный предел

Бесконечно большие функции.

Тема: Предел сложной функции в точке. Первый замечательный предел. Непрерывные функции.

Лекция № 9

XV. Аустроазиатская семья 74 295

XIV. Буриши (бурушаски) 50

XIII. Дравидская семья 188 295

XII. Мяо-яо 8 410

XI. Тайская семья 66510

X. Китайско-тибетская семья 1 086 530

IX. Койсанская семья 345

VIII. Нило-сахарская семья 31 340

VII. Нигероконголезская семья 305

VI. Афразийская (семито-хамитская) семья 261 835

Отдельные народы Дальнего Востока, не входящие ни в какие группы

Тунгусо-маньчжурская семья 4 700

Монгольская семья 6 465

Тюркская семья 109 965

V. Алтайские языки 297 550

Самодийская семья 35

Финно-угорская семья 24 035

IV. Уральские языки 24 070

III. Баски 1090

II. Кавказские языки 7 455

I. Индоевропейская семья 2 171 705

Индийская группа 761 075

Иранская группа 80 415

Славянская группа 290 475

Балтийская группа 4 850

Германская группа 425 460

Романская группа 576 230

Кельтская группа 9 505

Греческая группа 12 285

Албанская группа 5 020

Армянская группа 6 390

Абхазско-адыгская группа 875

Нахско-дагестанская группа 2 630

Картвельская группа 3 950

Угорская группа 13 638

Финская группа 10 397

Японцы 121 510

Корейцы 64890

Айны 20

Семитская ветвь 193 225

Кушитская ветвь 29 310

Берберо-ливийская ветвь 10 560

Чадская ветвь 28 740

13 680 26 780 67 430 14 590 330 7 320 174 580 570

Манде

Атлантические

Кру и ква

Гур

Догон

Адамада-убангийские

Бенуэконголезские

Кордофанские

Сахарские 5 110

Восточносуданские и нилотские 19 000
Сонгай 2 290

Центральносуданские 3 910

Прочие 1 030

Китайская ветвь 1024170

Тибето-бирманская ветвь 62360

Рассмотрим функцию:, или, где:.

Теорема 1: Пустьзадана суперпозиция двух функций: и существует предел: и, тогда.

Доказательство:

Рассмотрим сложную функцию:. Из условия существования пределов, имеем:, откуда:,

Далее принимая в качестве, получим:, но это и означает, что:. #

Теорема 2: Пусть существует предел отношения, тогда он равен.

Доказательство:

Не ограничивая общности, рассмотрим функцию: при: Тогда из геометрических соображений, следует:

;

;

. Здесь:

; Тогда имеем из приведённого ранее неравенства:, и, далее, учитывая, что:. При этом, зная, что и по теореме о двух милиционерах, получим: #

Рассмотрим понятие предела слева и предела справа:

;.

Введём понятия: Левой окрестностью называется множество точек из интервала:, соответственно правой окрестностью: множество точек.

Функция называется непрерывной функцией в, если:, т.е.

1)

2) функция определена в этой точке и некоторой её окрестности;

3) или.

Что фактически означает следующее:, т.е. знак предела переходит к внутреннему аргументу.

Обозначая: – соответственно приращение аргумента и приращение функции. Тогда функция называется непрерывной, если.

Рассмотрим следующие теоремы без доказательства:

Теорема 4: Сумма, разность, произведение, частное (при условии, что знаменатель не равен нулю) непрерывных функций есть функция непрерывная. Сложная функция, составленная из непрерывных функций, также есть функция непрерывная. Обратная функция к непрерывной функции также является непрерывной функцией.

Теорема 5: (без доказательства) Все основные элементарные функции непрерывные функции в каждой точке области их определения.

Дата добавления: 2014-01-07