Анализ геометрической стороны задачи. Выражение перемещений и деформаций через прогибы

В силу гипотезы плоского напряженного и деформируемого состояния

, но по формуле Коши , следовательно, функция прогибов не зависит от координаты z, т.е. прогибы на всем прямолинейном нормальном к поверхности плиты элементе одинаковы. Иными словами, функция прогибов

. На рисунке 27 прогиб точки «k» есть отрезок «». Прогибы всех точек, лежащих на нормали «ML» одинаковы.

Рисунок 27

В силу гипотезы прямых нормалей нет сдвигов между нормалью и срединной изогнутой поверхностью, т.е.

Разделяя переменные в выше приведенных соотношениях и интегрируя по z в пределах толщины плиты, получим выражения перемещений через прогибы

Для определения функций, полученных при интегрировании и воспользуемся гипотезой нейтрального срединного слоя: при , тогда и . Таким образом, окончательно выразили перемещения через прогибы в плитах

, (9)

Эти соотношения легко иллюстрируются (Рис. 27). Перемещение точки «N» по оси x равно произведению расстояния от точки до нейтрального слоя на тангенс угла наклона нормали к вертикали (тангенс угла наклона касательной к оси x).

Используя формулы Коши и зависимости (9), получим выражение деформаций через прогибы

(10)

Имея эти соотношения, можем выразить напряжения через прогибы плиты.