Угол между двумя прямыми. Ставится задача:получить формулу, выражающую величину угла между двумя прямыми и на плоскости

Ставится задача: получить формулу, выражающую величину угла между двумя прямыми и на плоскости.

Определение. Углом между прямыми и называется наименьший угол на который надо повернуть прямую вокруг точки пересечения прямых и против движения часовой стрелки до совпадения ее с прямой (рис. 5.1). Очевидно, .

Угол между прямыми и определяется формулой:

(5.1)

Формула (5.1) дает выражение тангенса угла между прямыми и через угловые коэффициенты этих прямых: Если , то , если , то .

Замечание. Направление стрелки в формуле должно соответствовать направлению стрелки на рисунке. В противном случае мы получим угол, дополняющий угол до 180⁰.

Сформулируем условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Условие параллельности. Для того чтобы прямые и были параллельны, необходимо и достаточно чтобы их угловые коэффициенты были равны:

. (5.2)

Условие перпендикулярности. Для того чтобы две прямые и были взаимно перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты удовлетворяли равенству:

, 5.3)

откуда следует

(5.3

Задача 5.1. Определить, параллельны или не параллельны прямые и :

и если не параллельны, построить их и найти угол между ними.

Решение. Для исследования параллельности прямых приведем их уравнения к виду уравнений с угловым коэффициентом:

поэтому прямые не параллельны.

Для построения прямых преобразуем их уравнения к виду уравнений прямых в отрезках на осях:

, .

Прямые и пересекают оси координат в точках: прямая , в точках , и ; прямая в точках и (рис. 5.2).

Определим угол между прямыми и : По формуле (2.5) получим:

,

Дата добавления: 2014-01-07