Применение векторных диаграмм при расчете электрических цепей синусоидального тока

Токи и напряжения, на различных участках электрической цепи синусоидального тока, как правило, по фазе не совпадает. Наглядное представление о фазовом расположении различных векторов дает векторная диаграмма токов и напряжений.

Аналитические расчеты электрических цепей синусоидального тока рекомендуется сопровождать построением векторных диаграмм, чтобы иметь возможность качественно контролировать эти расчеты.

Качественный контроль заключается в сравнении напряжений различных векторов, исходя из физических соображений.

Например, на векторной дианрамме напряжений на индуктивности должно опережать протекающий через нее ток на 90, а напряжение на конденсаторе должно отставать от протекающегочерез него тока на 90.

Если аналитический расчет даёт результаты не совпадающие с такими очевидными положениями, то, следовательно, в него вкралась ошибка.

___________________________________

Изобразим векторы ЭДС Ė, тока İ, напряжений Ů_r, Ů_r2 и Ů_L на векторной диаграмме (рисунок 27):

Рисунок 27 - Векторная диаграмма.

В данном случае диаграмма построена для известных значений параметров цепи и ЭДС. Выбраны масштабы тока и напряжения. Все векторы отложены в соответствии с выбранными масштабами.

Когда же параметры цепи неизвестны, то можно построить векторную диаграмма качественно, то есть длины векторов тока и напряжения выбираются произвольно, а векторы напряжений с множителями j и –j поворачиваются на +90⁰ и -90⁰ соответственно.

Например, построить качественно векторную диаграмма цепи (рисунок 28):

Рисунок 28 - Электрическая схема.

Отложим вектор тока İ по вещественной оси комплексной плоскости.

Вектор Ů_r= İ*R будет по фазе совпадать с вектором тока İ, а вектор напряжения на конденсаторе Ů_с = из-за наличия множителя –j будет повернут на -90⁰ относительно вектора тока İ (рисунок 29).

Рисунок 29- Векторная диаграмма цепи R, C.

Построим качественно векторную диаграмму для цепи R, L, C (рисунок31):

Рисунок 31- Электрическая схема.

Направим вектор тока İ по вещественной оси комплексной плоскости.

Вектор Ů_r= İ*R совпадает по фазе с вектором тока İ. Вектор Ů_L из-за наличия множителя j повернут на +90⁰ относительно вектора тока İ. Вектор Ů_с из-за наличия множителя –j повернут на -90⁰ относительно вектора тока İ.

Здесь возможны три случая:

1) U_L > Ů_с , тогда характер цепи индуктивный (рисунок 32)

2) U_L = Ů_с , тогда характер цепи активный (рисунок 33).

3) U_L < Ů_с , тогда характер цепи емкостной (рисунок 34).

Рисунок 32 - Векторная диаграмма.

Рисунок 33 - Векторная диаграмма.

Рисунок 34 – Векторная диаграмма.

Построить качественно векторную диаграмма цепи (рисунок 35) с параллельными разнохарактерными ветвями.

Рисунок 35 – Электрическая схема.

Перейдем от комплексных сопротивлений ветвей к их комплексным проводимостям:

Запишем теперь токи İ₁ и İ₂ , через комплексные проводимости и ЭДС Ė:

̇ (62)

(63)

Уравнения (62) и (63) используем для построения векторной диаграммы.

Направим вектор Ė по вещественной оси комплексной плоскости. На рисунке 36 показана векторная диаграмма.

Рисунок 36 – Векторная диаграмма.

На векторной диаграмме рисунка 36 векторы Ėg₁ и Ėg₂ совпадают по фазе с ЭДС Ė, так как не содержат множителей j или –j. Вектор –jĖb₁ повернут относительно вектора Ė на -90⁰ , то есть по часовой стрелке, из-за наличия множителя –j. Вектор –jĖb₂ повернут относительно вектора Ė на 90⁰ , то есть против часовой стрелки. Вектор тока İ в неразветвленной части равен сумме векторов токи İ₁ и İ₂ по первому закону Кирхгофа:

İ = İ_{1 +} İ₂ .

В данном случае характер цепи получился емкостной, так как вектор тока I опережает вектор ЭДС Ė на угол ᶙ

.

Изображение разности потенциалов на комплексной плоскости.

Потенциалы цепи переменного тока являются комплексными числами. На комплексной плоскости комплексное число можно изобразить либо точкой, координаты который равны действительным и мнимой частям комплексного потенциала, либо вектором направленным от начала координат к данной точке плоскости.

ᶙ_а =1 +j3 (B)

ᶙ_b = -4 + j (B)

Рисунок 37 – Изображение разности потенциалов.

На рисунке 37 представлены два вектора, изображающих собой комплексные потенциалы:

ᶙ_а =1 +j3 (B) и ᶙ_b = -4 + j (B).

По определению разности потенциалов:

На комплексной плоскости любой вектор можно перенести параллельно самому себе куда угодно. Очевидно, что оба вектора и располагаются между точками “a” и “b”. Но изображается вектором, направленным от точки “b” к точке “a”, а вектор наоборот.

Таким образом, первый индекс у разности потенциалов указывает, к какой точке следует направить стрелку вектора. Естественно, что

.

Топографическая диаграмма.

Каждая точка электрической схемы, в которой соединяются элементы схемы, имеет свое значение комплексного потенциала.

Совокупность точек комплексной плоскости, изображающих комплексные потенциалы одноименных точек схемы, называют топографической диаграммой. Термин топографическая объясняется тем, что диаграмма напоминает топографическую карту местности, где каждой точке местности отвечает определенная точка на карте. Расстояние между двумя точками местности можно определить, измерив расстояние между одноименными точками на карте.

Аналогичные измерения можно проводить и на топографической диаграмме. Напряжение между любыми двумя точками электрической схемы, например, между точками “a” и “b”, по величине и направлению определяется вектором, проведенным на топографической диаграмме от точки “b” к “a”.

При построении топографической диаграммы, как и потенциальной, потенциал любой точки схемы может быть принят равным нулю. На диаграмме эту точку помещают в начало координат. Тогда положение остальных точек схемы на диаграмме будет определяться параметрами цепи, ЭДС и токами ветвей.

Рассмотрим пример. Построить топографическую диаграмму для схемы. (рисунок 38).

Примем потенциал точки “a” равным нулю.

Выразим потенциал точки “b” через потенциал точки “a”:

Рисунок 38. Электрическая схема

Плюс перед обусловлен тем, что при переходе от точки “a” к точке “b” перемещаемся навстречу току. При этом потенциал увеличивается на величину. Точка “b” на диаграмме будет иметь координату по вещественной оси +10. Аналогично:

Теперь можно определить ток

Далее по первому закону Кирхгофа найдем ток:

Находим потенциалы остальных точек:

.

На рисунке 39 изображены все точки схемы на топографической диаграмме. Определим по диаграмме разность потенциалов. Это будет вектор, направленный от точки “e” в точку “c”:

(В)

Рисунок 39. Топографическая диаграмма.

Аналогично можно определить разность потенциалов, между любыми точками данной схемы, например найдем разность потенциалов между точками “d” и “b”:

(В).

Активная, реактивная и полная мощности.

Под активной мощностью Р понимают среднее значение мгновенной мощности р за период Т:

(64)

Если ток, то

(65)

Активная мощность физически представляет собой энергию, которая выделяется в единицу времени в виде теплоты на участке цепи с сопротивлением R.

На рисунке 40 показана векторная диаграмма цепи R, L.

Рис.40 Векторная диаграмма.

По диаграмме произведение следовательно

(65)

Активную мощность измеряют в ваттах (Вт).

Под реактивной мощностью Q понимают произведение действующего значения напряжения U на участке цепи на действующее значение тока I по этому участку и на синус угла ___ между напряжением U и током I:

(66)

Из диаграммы рис 40.

,

Отсюда

, (67)

Где Х – реактивное сопротивление.

Реактивная мощность измеряется в вольтамперах реактивных (ВАр). Если, то и Q>0, если, то и Q<0.

Реактивная мощность – это энергия, которой обмениваются генератор и приемник в единицей времени.

Полная (кажущаяся) мощность:

(68)

Так как, то

(69)

Полная мощность измеряется в вольтамперах (ВА).

Между P, Q и S существует соотношение:

(70)

Графически эту связь можно представить в виде прямоугольного треугольника (рис. 41), у которого катеты P и Q, а гипотенуза – S.

Рис.41. Соотношение мощностей.

На щитке любого источника электрической энергии переменного тока (генератора, трансформатора) указывается величина S. Она характеризует ту мощность, которую этот источник может отдавать потребителю, если последний будет работать при () то есть потребитель чисто активная нагрузка.

Дата добавления: 2014-01-07