Круговая диаграмма

Известно, что синусоидально изменяющиеся функции времени (токи, напряжения) могут быть изображены векторами на комплексной плоскости.

Если процесс в электрической цепи описывается уравнением, то форме тождественным с (152), то геометрическим местом концов векторов тока или напряжения, при изменении по модулю какого – либо сопротивления цепи и при низменности остальных сопротивлений, частоты и источников энергии, является окружность.

Под круговой диаграммой тока или напряжения понимают дугу окружности, являющегося геометрическим местом концов векторов тока или напряжения при изменении одного какого – либо сопротивления.

Круговые диаграммы тока и напряжения удобно использовать для анализа работы электрических цепей.

Круговая диаграмма тока для двух последовательно соединённых сопротивлений.

Пусть к источнику ЭДС E̊ = E подключены два сопротивления

Z 1= + = Z1 и Z = R (рис.75)

I L1

R1

E̊

R

Рис.75. Электрическая схема.

Сопротивление Z1 =const, а сопротивление Z = var, причем модуль его может меняться от 0 до ∞

0 ≤ R ≤ ∞,

а углом остаётся неизменным.

Ток в цепи рис.75 равен

I̊ = =; (153)

В выражении (153) числитель и знаменатель разделили на неизменное сопротивление Z1.

При делении комплексного сопротивления Z на модули делятся, а углы вычитаются.

В числителе (153) ток норошно замыкается:

. (154)

Обозначим, тогда

I̊. (153)

Уравнение (155) полностью тождественно уравнению (152). Роль вектора играет ток норошного замыкания; роль коэффициента К выполняет отношение модулей; роль вектора - вектор.

То есть можно сказать, что при изменении модуля Z от 0 до вектор тока будет скользить по дуге окружности, хордой которой будет ток которого диаграмма для исследования работы схемы рис.75

+j

g E̊ +1

a Раб.дуга

h I̊

Ψ

o

Ψ<0 f ЛПП

e линия Z

-Ψ

касательная

Рис.76.Круговая диаграмма тока для двух последовательно соединенных сопротивлений.

На круговой диаграмме вектор ЭДС Е направлен вещественной оси комплексной плоскости, так как по заданию Е.

Изобразим вектор тока норошного замыкания

=

Ток отстаёт от ЭДС Е но угол. Характер сопротивления индуктивный поэтому угол Ψ = будет отрицательным. Выберем масштаб токов mj. Тогда

ac*mj =; (156)

ad*mj=I.

Отрезок ac в масштабе тока mj выражает собой модуль тока норошного замыкания. Отрезок ad в соответствии с уравнением (155) в масштабе тока mj равен току. В цепи отрезок cd характеризует произведение,

Cd*mj = (157)

Отложим на продолжение хорды ac отрезок, выбрав предварительно масштаб сопротивления, причем

ae* =, (158)

то есть ae в масштабе сопротивления выражает модуль неизменного сопротивления.

Из точки e под углом – Ψ к продолжению хорды проведём прямую ef. Тогда f является точкой пересечения линии ef продолжения хорды ad.

Треугольник aef и adc подобны:

△aef ∾△adc

Так как ∠adc = и ∠aef =, то есть

∠adc = ∠aef,

а ∠dac у них общий.

Из подобия треугольников можно записать:

. (159)

отсюда

ef = ae = (160)

или

ef * = Z,

то есть отрезок ef в масштабе сопротивления выражает модуль меняющегося сопротивления Z. Поэтому линию ef называют линией переменного параметра (ЛПП). Нуль на ЛПП находиться в точке e и соответствует короткому замыканию меняющегося сопротивления.

Из круговой диаграммы рис.76 можно найти активную и реактивную мощности для любого режима работы цепи.

Введём масштаб мощности:

. (161)

Опустим перпендикуляр из конца вектора тока I, то есть из точки d на ЭДС Е. Пересечение даст точку g.

Отрезок в масштабе мощности выражает активную мощность P:

, (162)

где

Проекция конца вектора тока на направление, перпендикулярное (в данном примере на мнимую ось) – отрезок ah в масштабе мощности даёт реактивную мощность Q.

, (163)

где;

Порядок построения круговой диаграммы:

1) Записывается выражение для тока или напряжения как уравнение дуги окружности в векторной форме записи;

2) Находятся углы у неизменного сопротивления и у неизменного споротивления и у меняющегося споротивления;

3) Определяется угол и его знак;

4) На комплексную плоскость наносится ток короткого замыкания или ЭДС, являющегося хордой будущей окружности;

5) Для круговой диаграммы тока кроме тока на комплексную плоскость наносится ЭДС со своим углом;

6) От продолжения хорды ac из точки с под углом проводится луч, который будет являться касательной к будущей окружности. Если угол, то он откладывается против часовой стрелки, если - по часовой;

7) Восстанавливается перпендикуляр в точке с к касательной и перпендикуляр к середине хорды. На пересечении этих перпендикуляров и находится центр окружности.

8) Проводится рабочая дуга окружности, которая относительно хорды ас b и её продолжения лежит по другую сторону, чем луч, являющийся касательной;

9) На продолжении хорды ас в масштабе сопротивления откладывается отрезок, выражающий модуль неизменного сопротивления;

10) Под углом к продолжению хорды ac в точке е проводится линия ef - линия переменного параметра. Она размечается в том же масштабе, что и отрезок ae;

11) На линии переменного параметра откладывается любое значение меняющегося сопротивления Z, соединяется эта точка с точкой, находящейся в начале координат, и на пересечении с рабочей другой окружности находится комплекс тока, соответствующий отложенному значению Z на линии переменного параметра.

Рассмотрим пример построения круговой диаграммы тока для схемы рис.77.

Рис.77. Электрическая схема

Неизменное сопротивление

. Пусть;

Меняющееся сопротивление

;;

.

Запишем выражение для тока:

, (164)

Где ток короткого замыкания,

.

Выражение (164) можно трактовать следующим образом: при измерении модуля Z

от 0 до вектор тока скользит по дуге окружности, хордой которой является ток короткого замыкания.

Найдём ток короткого замыкания

Пусть ЭДС направлена по вещественной по комплексной плоскости. Тогда

;

Это хорда ac будущей окружности. На рис.78 построена круговая диаграмма для схемы рис.77.

Рис. 78. Круговая диаграмма

Если взять точку 1 на линии переменного параметра, то из круговой диаграммы получается, что комплекс тока отстает на некоторый угол от ЭДС, то есть характер цепи получается индуктивный. Если взять точку 3, то вектор тока опережает ЭДС на некоторый угол, характер цепи емкостной. Если взять точку 2, то вектор тока совпадает по фазе с вектором ЭДС В цепи возникает резонанс напряжений и цепь ведет себя как активное сопротивление.

При увеличении сопротивления Z на ЛПП вектор тока скользит по рабочей дуге окружности, причем значение тока все время уменьшается. При и наступает режим холостого хода.

Режим короткого замыкания, когда меняющееся сопротивление на ЛПП равно нулю. Это точка e.

Таким образом с помощью круговой диаграммы можно исследовать работу схемы аналитически, без сборки схемы в лаборатории.

Дата добавления: 2014-01-07