Статистические оценки параметров распределения. Раздел II. Математическая статистика

Лекция № 2

Раздел II. Математическая статистика

Пусть требуется изучить количественный признак Х генеральной совокупности. Пусть вид закона распределения признака известен (из теоретических соображений; по виду гистограммы или полигона относительных частот). Например, если изучаемый признак распределен в генеральной совокупности нормально, то требуется найти два параметра a и s; если по закону Пуассона, то один параметр l. В некоторых задачах вид закона распределения несущественен, а требуется знать только его числовые характеристики.

Обозначим неизвестный параметр через (обобщенный теоретический параметр). Будем полагать для простоты, что параметр только один.

Для определения значения неизвестного параметра q имеются лишь данные выборки, т.е. значения x₁, x₂, …, x_n количественного признака X. Значение искомого параметра, вычисленное на основе ограниченного числа опытных данных, всегда будет содержать элемент случайности. Такое приближенное, случайное значение будем называть оценкой параметра q и обозначать q*.

q* – оценка неизвестного параметра q.

Определить параметр по опытным данным точно невозможно. Более того, трудно говорить даже о приближенном определении параметра, т.е. невозможно оценить предельную возможную ошибку и гарантировать, что она не будет превзойдена. Всегда существует отличная от нуля, хотя и малая, вероятность того, что предел ошибки будет превзойден. Поэтому говорят не о приближенном значении параметра, а о его оценке.

Вопрос. Есть ли различия между понятиями приближенное значение (данное в курсе алгебры) и оценка?

Задача. Имеется случайная величина Х (количественный признак), закон распределения которой содержит неизвестный параметр. Требуется найти подходящую оценку q* для параметра q по результатам n независимых испытаний, в которых Х приняла значения x₁, x₂, …, x_n (т.е. по данным выборки объема n).

Значения x₁, x₂, …, x_n можно рассмотреть как независимые случайные величины X₁, X₂, …, X_n каждая из которых распределена по тому же закону, что и X.

Статистическая оценка q* неизвестного параметра q есть функция от .

q* = q* (), q* также является случайной величиной.

Если возьмем одну выборку, то найдем некоторые приближенные значения для неизвестного параметра; если возьмем другую выборку, то получим, вообще говоря, другое значение.

1-ая выборка (x₁⁽¹⁾, x₂⁽¹⁾,…, x_n⁽¹⁾) ® найдем q₁^*

(x₁,x₂…x_N) 2-ая выборка (x₁⁽²⁾, x₂⁽²⁾,…, x_n⁽²⁾) ® найдем q₂^*

Генер. совокупность ……………………………………….

n-ая выборка (x₁⁽ⁿ⁾, x₂⁽ⁿ⁾,…, x_n⁽ⁿ⁾) ® найдем q_n^* q* – случайная величина; q₁*,q₂*, …,q_n* – ее возможные значения.

Значение q неизвестно. Вместо него мы берем значение, определяемое по ограниченному числу выборных данных. Заменяя q на q*, мы естественно допускаем ошибку. Желательно, чтобы эта ошибка была минимальной, т.е. чтобы оценка была близка к истинному значению параметра , следовательно, необходимо указать условия, требования к оценке.

Для получения хорошей, доброкачественной оценки неизвестного параметра (близкой к истинному значению параметра q) эта оценка должна удовлетворять ряду требований, а именно быть несмещенной, эффективной и состоятельной. Кроме этих требований существуют и другие свойства оценок, но мы их не будем рассматривать.

Определение. Несмещенной называют статистическую оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру q при любом объеме выборки, т.е. Если , то оценка называется смещенной.

Смещенной называют статистическую оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру. Если q* – несмещенная оценка, то используя ее вместо q, мы не будем делать ошибок только в сторону завышения (все ) или только в сторону занижения (все ). Требование несмещенности гарантирует от систематических ошибок, хотя и не устраняет ошибок вообще. Возможные значения q могут быть сильно рассеяны вокруг своего среднего значения, т.е. дисперсия большая. Тогда найденная по данным одной выборки оценка (например ) может быть значительно удалена от среднего значения , а значит и от q. Значит, заменив q на , мы допускаем большую ошибку. Следовательно, необходимо потребовать, чтобы была малой.

Определение. Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки) имеет наименьшую возможную дисперсию.

= D_min. Для q может существовать несколько несмещенных оценок. Из них выбирают более эффективную, т.е. обладающую наименьшей дисперсией по сравнению с остальными.

Желательно, чтобы точность оценки увеличивалась с увеличением объема выборки, а именно при увеличении n необходимо, чтобы q* приближалась к q.

Определение. Состоятельной называют статистическую оценку, которая при сходиться по вероятности к оцениваемому параметру:

На практике не всегда удается выполнить все эти требования. Например, эффективная оценка существует, но формулы для ее вычисления сложны и приходиться брать другую, которая несколько больше, но ее вычисление проще.

Дата добавления: 2014-01-07