Генеральная средняя. Выборочная средняя. Оценка генеральной средней по выборочной средней

Пусть требуется изучить генеральную совокупность относительно количественного признака X.

Распределение признака и в генеральной, и в выборочной совокупности будем считать дискретными, т.к. от непрерывных распределений всегда можно перейти к дискретным.

Определение. Генеральной средней называют среднее арифметическое значений признака X генеральной совокупности.

Если значения различны, то

.

Поскольку исследуемый признак Xможно рассматривать как случайную величину, возможные значения которой имеют одинаковую вероятность (вероятность извлечь объект со значением равна ), то

Итак, . (1)

Если значения имеют соответственно частоты , причем , то

Формула (1) остается справедливой и в этом случае.

Замечание. Все рассуждения были приведены, когда X - дискретная случайная величина.

При непрерывном распределении признака X по определению, полагают . 

Для изучения генеральной совокупности относительно признака X извлекается выборка объема n.

Определение. Выборочной средней называют среднее арифметическое значений признака выборочной совокупности.

Если различны, то

Если имеют соответственно частоты , причем , то

(2)

Замечание. Выборочная средняя, найденная по данным одной выборки, есть число. Если извлекать из этой генеральной совокупности другие выборки того же объекта, то выборочная средняя будет изменяться от выборки к выборке. 

Задача. Пусть из генеральной совокупности извлечена повторная выборка объема n со значениями признака (будем считать их различными). Генеральная средняя – неизвестна. Требуется оценить по данным выборки. Выборочную среднюю принимают в качестве оценки генеральной средней.

- оценка .

Будем рассматривать как случайную величину ; как независимые одинаково распределенные величины , имеющие то же распределение, что и X.

1. Докажем, что средняя выборочная – несмещенная оценка генеральной средней, т.е. .

имеют то же распределение, что и X. Обозначим , следовательно, , . Тогда

, следовательно, , что и требовалось доказать.

Докажем, что выборочная средняя - состоятельная оценка генеральной средней.

Предположим, что Х₁, Х₂, …, Х_n имеют ограниченные дисперсии. Тогда согласно частному случаю теореме Чебышева:

или , что и требовалось доказать.

Итак, - несмещенная состоятельная оценка .

Дата добавления: 2014-01-07