Генеральная дисперсия. Выборочная дисперсия. Оценка генеральной дисперсии по исправленной дисперсии

Определение. Генеральной дисперсией D_r называют среднее арифметическое квадратов отклонения значений признака Х генеральной совокупности от его среднего значения .

Если различны, то

, где N – объем выборки.

Если имеют частоты , то .

Определение. Генеральным средним квадратическим отклонением называют .

Определение. Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения .

Если различны, то .

Если имеют частоты , то .

Замечание. При решениипрактических задач выборочную дисперсию удобнее находить по следующей формуле:

 (1)

Определение. Выборочным средним квадратичным отклонением называют .

Задача. По данным выборки найти оценку для неизвестной D_Г.

Если в качестве оценки для D_Г взять D_В, то эта оценка является смещенной, а именно

(без доказательства). (2)

Значит, эта оценка будет приводить к систематическим ошибкам (давая заниженное значение генеральной дисперсии).

Для получения несмещенной оценки исправим выборочную дисперсию, умножив ее на .

Определение. Исправленной (эмпирической) дисперсией называется

. (3)

Значит,
или .

- несмещенная оценка генеральной дисперсии D_{Г .}

Действительно,

1) Можно доказать, что – состоятельная оценка D_Г, а значиттакже состоятельная оценка D_Г (т.к. множитель при ).

Замечание. При больших значениях n обе оценки и различаются мало и введение поправочного коэффициента теряет смысл. 

Для оценки среднего квадратического отклонения генеральной совокупности используют исправленное среднее квадратическое отклонение . не является несмещенной оценкой s_Г.

Определение. Точечной называют оценку, которая определяется одним числом.

Рассмотренные оценки являются точечными.

Пример 9. Выборка задана следующим ДCР. Найти смещенную и исправленную оценку для дисперсии.

xi	-2	-1
ni

Решение. Предварительно найдем для каждой варианты соответствующую относительную частоту и результаты внесем в таблицу. Объем выборки

n = 100.

xi	-2	-1
ni
wi	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

Найдем смещенную оценку генеральной дисперсии – воспользуемся формулой (1): .

Выборочную среднюю найдем по формуле (2) §5: . Отсюда, .

Несмещенную оценку генеральной дисперсии найдем по формуле (3): . 

Дата добавления: 2014-01-07