Доверительная вероятность. Доверительный интервал

Определение. Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала.

При выборе малого объема точечная оценка значительно отличается от оцениваемого параметра, что приводит к грубым ошибкам. В этом случае применяют интервальную оценку.

Пусть оценка неизвестного параметра θ. (θ – постоянное число).

Оценка тем точнее, чем меньше число δ в неравенстве .

Число δ характеризует точность оценки.

Статистические методы не позволяют категорически подтверждать, что удовлетворяет неравенству , можно лишь говорить о вероятности, с которой осуществимо это неравенство.

Определение. Доверительной вероятностью (надежностью) оценки по называют вероятность γ, с которой осуществляется неравенство .

Р () = γ. (1)

Обычно в качестве доверительной вероятности γ выбирают γ = 0,9; 0,95; 0,99.

Преобразуем (1)

Р () = γ. (2)

Равенство (2) означает, что с вероятностью γ неизвестное значение параметра попадет в интервал

(3)

Ранее рассматривали вероятность попадания случайных величин в заданный интервал.

В данном случае величина не случайна (- число, хотя и неизвестное), зато случаен интервал (3), случайно его положение на оси абсцисс определяемое центром , случайна длина.

Поэтому γ – не вероятность попадания точки q в интервале (3), а вероятность того, что случайный интервал (3) накроет точку q.

q

Определение. Доверительным называют интервал , который накрывает параметр с заданной доверительной вероятностью γ.

Доверительный интервал для оценки математического ожида-

ния нормального распределения при известном σ ( σ – среднее квадратное отклонение).

Дано: Количественный параметр Х генеральной совокупности распределен нормально.

- плотность.

Математическое ожидание a – неизвестно.

Среднее квадратическое отклонение – известно.

Требуется: Оценить а по средней выборной .

Данные выборки и среднее выборочное будем рассматривать как случайные величины и , одинаково распределенные с математическим ожиданием a и средним квадратическим отклонением .

,

, .

Пусть выполняется: Р ()= γ, γ – заданная вероятность.

Ранее была формула: Р ()=.Заменим X на , на .

Р () = = , где .

Тогда . Следовательно, Р ()=.

Вернемся к обозначению как . Получим

Р (.

Итак, с достоверной вероятностью γ можно утверждать, что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр a. Точность оценки: . Число t определяется из равенства или .

При заданной доверительной вероятности по таблице функции Лапласа (приложение) находят значение t.

Пример 10. Количественный параметр X распределен нормально . Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания a по выборочной средней , если объем выборки n = 36 и доверительная вероятность = 0,95.

Дата добавления: 2014-01-07