Множества на плоскости и в пространстве

Лекция 11

Прежде всего рассмотрим некоторые свойства множеств, на которых задаются функции многих переменных. Будем предполагать, что на рассматриваемой нами плоскости или в пространстве задана некоторая прямоугольная система координат. Будем обозначать координаты точек на плоскости буквами и , а в трехмерном пространстве —. Пусть и — две точки на плоскости. Расстояние между двумя точками обозначим . Как известно, формула для вычисления расстояния между точками на плоскости имеет вид

.

В случае трехмерного пространства расстояние между двумя точками и вычисляется по формуле

.

В дальнейшем мы будем иметь дело с функциями, у которых число переменных больше трех, поэтому введем понятие -мерного пространства.

Определение. Точкой мерного пространства называется упорядоченная совокупность действительных чисел . Числа называются координатами точки . Расстояние между точками и определяется по формуле

. (1)

Совокупность точек -мерного пространства, для которых определено расстояние по формуле (1), называется -мерным евклидовым пространством и обозначается через .

Определение. Пусть принадлежит -мерному евклидовому пространству . Совокупность всех точек этого пространства таких, что , где —произвольное положительное число, называется -мерным шаром с центром в точке радиуса .

Если принять во внимание формулу (1), то условие можно представить в виде

.

Определение. -окрестностью точки называется -мерный шар с центром в точке радиуса .

В частности, на плоскости -окрестностью точки называется круг с центром в точке радиуса , то есть множество точек , удовлетворяющих условию или

.

Определение. Пусть — некоторое множество точек пространства. Множество называется ограниченным, если существует -мерный шар с центром в начале координат такой, что множество заключено в этом шаре.

Определение. Пусть — некоторое множество точек пространства . Точка , принадлежащая множеству , называется внутренней точкой множества, если существует -окрестность этой точки, содержащаяся во множестве .

Определение. Множество, каждая точка которого является его внутренней точкой называется открытым множеством.

Определение. Точка называется граничной точкой множества , если в любой ее окрестности существуют точки, как принадлежащие множеству , так и не принадлежащие ему. Совокупность всех граничных точек множества называется его границей.

Определение. Если каждая граничная точка множества является точкой этого множества, то множество называется замкнутым.

Определение. Множество точек пространства , координаты которых заданы как непрерывные функции определенные на некотором отрезке , называется непрерывной кривой в пространстве . Аргумент называется параметром кривой.

Определение. Множество , любые две точки которого можно соединить целиком лежащей в нем непрерывной кривой, называется связным.

Определение. Открытое связное множество называется областью.

Дата добавления: 2014-01-07