Решение уравнения Пуассона функцией relax

Пусть требуется решить уравнение, описывающее стационарное распределение температуры на поверхности тонкой плоской пластинки при заданном начальном распределении температуры – начальное приближение, и заданных граничных условиях(в том числе отличных от нуля).

Для решения этой задачи используется функция relax. Обращение к функции имеет вид: F: = relax (a, b, c, d, e, S, f, r).

Аргументами функции являются: пять квадратных матриц a,b,c,d,e, содержащих коэффициенты для приближения лапласиана,

S - матрица значений правой части уравнения Пуассона,

f - квадратная матрица того же размера, что и сетка, содержащая известные граничные величины и функции.

r - радиус сходимости Якоби - действительное число (0<r<1), определяющее сходимость (конвергенцию) решения.

Рис. 6.4. Решение уравнения Лапласа с 3-мя точечными зарядами при нулевых граничных условиях.

Примечание:

1. Размерность множеств определяется задаваемым пользователем размером сетки, – i:=0…R, j:=0…R. Очевидно, чем больше , тем меньше размер шага интегрирования и тем точнее решение. В Mathcad наибольший размер сетки ограничен (около 1000 узлов сетки).

Стандартный набор коэффициентов приближения лапласиана имеет вид: .

2. Граничные условия должны быть заданы для всех 4-х сторон квадратной области интегрирования в виде функций: .

3. Правая часть уравнения записывается в виде функции .

4. Достаточно хорошим выбором для радиуса сходимости Якоби является соотношение: .

5. Если выдаётся сообщение об ошибке «слишком много циклов», можно попытаться уменьшить значение параметра и повторить вычисления.

Рис. 6.5. Решение уравнения Пуассона функцией relax.

6.3. Отображение функций двух переменных в виде 3D –графиков.

Решением уравнений в частных производных являются функции двух переменных, графическое построение которых «вручную», как правило, представляет значительные трудности. В тоже время это удобный вид отображения результата для принятия оперативного решения, например, о продолжении расчёта, для публикаций и обучения.

В Mathcad имеется набор возможностей для различного графического представления функций двух переменных. Некоторые из них проиллюстрированы на примерах, приведенных на рис.6.1- 6.5 данной главы. Однако фактический набор значительно шире, поэтому

здесь рассматриваются только некоторые наиболее простые и наиболее употребительные средства построения и редактирования таких графиков.

6.3.1. Построение 3D –графика функции двух переменных в декартовых координатах(Surface Plot).

Если вычислена или импортирована из другого приложения матрица значений функции F=F(x,y), то для построения её 3-хмерного изображения, например, в виде показанного на рис.6.5 нужно:

- установить курсор в отведённое для построения графика место рабочего листа;

- отобразить область построения графика, для чего набрать на клавиатуре «[Ctrl]+2» или щёлкнуть мышью на панели Graph значок с изображением поверхности – Surface Plot;

- в открывшемся шаблоне имеется единственный placeholder, в который нужно занести имя функции F без указания аргументов.

а) б)

Рис. 6.6.

В результате этих действий на экране отобразится 3-хмерный график в виде «каркаса». На рис. 6.6 приведен такой график, отображающий результат решения уравнения Лапласа в случае 3-х зарядов (рис. 6.2).

График можно повёрнуть мышью, можно изменить его размер, переместить, скопировать или вывести на печать. Для того, чтобы убрать рамку нужно щёлкнуть мышью вне поля построения графика, после чего график примет вид, показанный на рис. 6

Как уже отмечалось, в Mathcad'е предусмотрен большой набор инструментов для редактирования 3D-графиков. Для их вызова нужно двойным щелчком мыши в области построения графика войти в окно редактирования 3-хмерных графиков 3-D Plot Format (рис. 6.7) и выбрать соответствующий инструментарий.

В верхней части окна 3-D Plot Format расположены девять прямоугольных кнопок с надписями, при нажатии на которые мышью вызывается окно с соответствующим названию набором функций. Ограничимся только их перечислением и кратким комментарием к ним:

- General (главное окно редактирования), состоит из 4-х панелей: Wiev(вид) - установка ориентации координатных осей; Axese Style (стиль осей) – расположение координатных осей на графике(традиционная с пересечением осей в начале координат – опция Corner или расположение осей по периметру – опция Perimeter); Frames – способ отображения рамки на графике; Plot 1 – вид отображения функции 2-х переменных, содержит шесть кнопок типа Radio Batton с надписями: Surface Plot - отбражение в виде поверхности (на рис. 6.7 - кнопка включена), Countor Plot – контурный график, Data Points – 3-хмерное изображение точками, Bar Plot – столбчатая диаграмма (гистограмма), Vektor Field Plot – векторное поле(градиент поля), Patch Plot – ячеистая поверхность;

- Axes(оси) открывает окно форматирования координатных осей (шкала, толщина линии, цвет, другие атрибуты);

- Backplanes (координатные плоскости) открывает окно редактирования координатных плоскостей (координатная сетка и её оформление, цвет плоскости, другие атрибуты);

- Apperance, Advanced, Lighting и др. открывают окна с набором инструментов дизайна 3-хмерных графиков, атрибутов печати и других функций;

- Special (специальная) открывает окном с инструментарием для построения и редактирования контурных графиков (Contour Plot) функций 2-х переменных.

Рис. 6.7. Окно форматирования 3D- графиков.

Дата добавления: 2014-01-07