Примеры решения задач для электрических колебаний

1. Колебательный контур состоит из конденсатора с ёмкостью мкФ и катушки индуктивностью Гн. Определите максимальную силу ток в контуре, если максимальная разность потенциалов на обкладках конденсатора В. Сопротивлением контура пренебречь.

Решение.

Рис.294

Так как пренебрегаем , то контур является идеальным. Пусть в конденсатор заряжен и (рис.294). В следующий момент времени происходит разрядка конденсатора и по цепи пойдёт ток. К моменту конденсатор разряжается, ток в цепи максимальный.

Затем происходит зарядка конденсатора, а потом разрядка, т.е происходит периодический процесс. Используя правила Кирхгофа можно записать уравнение

, (731)

где ,

,

тогда (731) запишется в виде

,

Введя обозначение

,

Получим дифференциальное уравнение второго порядка

. (732)

решением уравнения (732) является

.

Сила тока равна

, (733)

где

. (734)

- максимальная сила тока (амплитуда).

Заряд конденсатора находим по формуле

. (735)

С учётом (733) - (735) получим

А.

2. Добротность колебательного контура . Определите на сколько процентов отличается частота свободных затухающих колебаний от его собственной частоты (найти ).

Решение.

Частота свободных затухающих колебаний определяется формулой

, (736)

где - коэффициент затухания.

Добротность системы при малых затуханиях определяется формулой:

, (737)

где - логарифмический декремент затухания, - период колебания.

Из (736) найдём

(738)

Подставим (738) в (737) и получим

, (739)

где .

Из (739) выразим

Найдём величину

. (740)

Т.к , то можно разложить в степенной ряд

(741)

с учётом (741) выражение (740) запишется в виде

или .

3. В цепи, состоящей из резистора Ом, катушки индуктивностью мГн и конденсатора ёмкостью мкФ, действует синусоидальная ЭДС (рис.295).

1) Определите частоту ЭДС, при которой в цепи наступает резонанс.

2) Найдите действующие значения силы тока и напряжения на всех элементах цепи при резонансе, если при этом действующее значение ЭДС В и среднюю мощность тока.

Решение.

При решении задачи все формулы использованы из лекции (16-17) (см. выкладки в лекции).

В цепи происходят вынужденные колебания, то сила тока определяется формулой

. (742)

Рис.295

Резонансная частота для тока равна

рад/c.

Резонансная сила тока равна

А.

Напряжение на каждом элементе

В.

В.

В.

Средняя мощность переменного тока равна:

,

где - коэффициент мощности,

или с учётом последнего и (742) получим

Вт.

4. Катушка индуктивностью мГн и воздушный конденсатор, состоящий из двух круглых пластин диаметром см каждая, соединены параллельно. Расстояние между пластинами мм. Определить период колебаний.

Решение.

Период колебаний для идеального контура определяется формулой

,

где

– (743)

ёмкость плоского конденсатора; - индуктивность; диэлектрическая проницаемость.

Площадь пластины конденсатора определяется

, (744)

где - диэлектрическая проницаемость.

С учётом (743) и (744) получим период:

с.

5. Какова должна быть ёмкость контура, чтобы он резонировал на длину волны м, если индуктивность контура равна мГн?

Решение.

Длина волны определяется

(745)

где - скорость электромагнитной волны в вакууме м/c; -индуктивность, - электроёмкость конденсатора.

Из (745) получим

ПФ.

6. В однородной и изолированной среде с и распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности электрического поля волны В/м. Найдите:

а) амплитуду напряжённости магнитного поля волны ;

б) фазовую скорость волны.

Решение.

Связь между и определяется формулой

, (746)

где ф/м – электрическая постоянная;Гн/м – магнитная постоянная.

Из (746) получим

А/м.

Фазовая скорость равна

м/с,

где м/c – скорость электромагнитной волны в вакууме.

7. В вакууме распространяется вдоль оси плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряжённости магнитного поля волны А/м. Определите:

а) Амплитуду напряжённости электрического поля волны ;

б) Среднюю по времени плотность энергии волны ;

в) Интенсивность волны ;

г) Среднюю по времени плотность импульса волны ;

д) Давление плоской волны на поверхности, если коэффициент отражения равен .

Решение.

Из соотношения

найдём ,

где ,- магнитная и диэлектрическая проницаемости, Гн/м, Ф/м – магнитная и электрическая постоянные.

а) Среднюю по времени плотность энергии находим по формуле:

. (747)

б) Интенсивность волны:

.

в) Средний по времени импульс электромагнитной волны в единице объёма с учётом (747) равен:

где .

г) Давление электромагнитной волны равно:

,

где - коэффициент отражения.

8. Найдите отношение энергии магнитного поля колебательного контура к энергии его электрического поля для момента и .

Решение.

.

Пусть напряжение на конденсаторе изменяется по закону:

.

Заряд на конденсаторе

.

Тогда сила тока изменяется по закону:

.

Энергия электрического поля

.

Энергия магнитного поля

.

Найдём отношение:

. (748)

Циклическая частота равна:

. (749)

С учётом (749) формула (748) запишется в виде

.

Подставим , получим

.

При , .

9. Активное сопротивление , индуктивность и ёмкость соединены параллельно и подключены к источнику напряжённого тока . Выведите соотношение между амплитудными значениями тока и напряжения и сдвигом фаз (рис.296).

Решение.

Рис.296

При параллельном соединении разность потенциалов на элементах ,и одинакова.

Поэтому:

, (750)

где - индуктивность, - заряд обкладки конденсатора, - ёмкость конденсатора, - активное сопротивление.

Заряд конденсатора изменяется по закону:

.

Из (750) следуют:

,

или ,

, .

Рис.297

Построим векторную диаграмму силы тока (рис.297), где

- амплитудные значения.

Из диаграммы найдем .

.

Сила тока в цепи изменяется по закону:

.

Дата добавления: 2014-01-07