Примеры решения задач для магнитного поля в вакууме

1. По плоскому контуру течет ток силы I=0,5 A. Радиусы колец контура , . Найти магнитную индукцию В в точке С (рис.178).

  Рис.178

Решение.

Из рис.178 видно, что контур с током можно разбить на следующие участки: АВ; BD; DE; EA.

Векторы индукции от всех участков тока направлены перпендикулярно плоскости чертежа от нас.

Контур с током ЕА является ¾ кругового тока с радиусом , а контур BD – ¼ кругового тока с радиусом . Поэтому для них используем формулу индукции для кругового тока.

Для ЕА:

(430)

Для BD:

(431)

Для прямолинейных участков тока АВ и DE используем формулу расчета индукции В прямолинейного тока конечной длины.

.

(432)

В формуле (432) углы и являются углами между направлениями радиуса вектора и током I. Из рис.(178) видно, что , и . Поэтому . Так же можно рассуждать и для тока DE ().

Общая индукция в точке С равна

.

(434)

2. Эбонитовый шар радиуса R=0,05 м заряжен равномерно поверхностным зарядом с плотностью . Шар приводится во вращение вокруг своей оси с угловой скоростью . Найти магнитную индукцию В в центре шара (рис.179а).

Решение.

Разбиваем шар на большое число элементарных колец (рис.179б).

Заряд элементарного кольца равен

.

(435)

При вращении заряд dq вокруг оси ОО создает ток силой

,

(436)

  Рис.179

где - период обращения шара.

Круговой ток dI в точке С создает магнитное поле, индукция которого определяется формулой

.

(437)

Из рис.179б видно, что .

Тогда

.	(438)
.	(439)

С учетом (438) и (439) выражение (437) запишется в виде

.

(440)

Интегрируя (440), получим индукцию поля в точке С

.

(441)

3. Медный провод сечением , согнутый в виде трех сторон квадрата, может вращаться относительно горизонтальной оси. Провод находится в однородном магнитном поле. Когда по проводу течет ток силой I=15 A, провод отклоняется на угол . Определите индукцию магнитного поля (рис.180).

Решение.

На проводник с током (CD) в магнитном поле В действует сила Ампера

(442)

и сила тяжести

,

(443)

моменты сил которых уравновешивает проводник.

Сила Ампера, действующие на токи, текущие по сторонам АС и DB, равны по ве

Рис.180

личине и противоположны по направлению, радиус-векторы этих сил одинаковы, и поэтому суммарный момент сил, действующих на эти части проводника, равен нулю. Поэтому в (442) l – длина проводника CD. Масса всего проводника равна

, (444)

где 3l – длина всего проводника, т.к. AC=BD=CD=l.

С учетом (3) сила тяжести равна

(445)

и она приложена в точке О, которая является центром масс. Координаты центра масс относительно оси Х определяются формулой

и . (446)

Тогда длина радиуса вектора точки О относительно оси Х равен

. (447)

Момент силы тяжести Р относительно оси Х равен

.

(448)

Момент силы Ампера, действующий на проводник с током CD, равен

,

(449)

где - угол между векторами и , .

.

(450)

С учетом (450) формула (449) запишется в виде

.

(451)

Момент силы направлен противоположно моменту силы . Приравняв (451) и (448), получим

или .

(452)

4. Две бесконечно длинные прямолинейные параллельные токи расположены на расстоянии d=5 см друг от друга. Найти индукцию магнитного тока в точке С, удаленной от первого тока на расстояние , от второго – на , если силы тока равны и (рис.181).

Решение.

Пусть токи направлены перпендикулярно плоскости чертежа от нас (рис.181). Векторы индукции, поля создаваемого каждым током, направлены как показано на

Рис.181

рис.181. Тогда результирующая индукция равна

. (453)

Для прямолинейного тока индукцию находим по формуле

и . (454)

Угол находим, используя теорему косинусов

и

; .

Тогда

.

(455)

С учетом (454) и (455) находим B по формуле (453)

.

5. Две небольшие одинаковые катушки расположены так, что их оси лежат на одной прямой (рис.182). Расстояние между катушками значительно превыша-

Рис.182

ет их линейные размеры. Число витков каждой катушки N= 100, радиус витков . С какой силой F взаимодействуют катушки, когда по ним течет одинаковый ток I= 1 A?

Решение.

Магнитное поле, создаваемое I катушкой в точке О₂ определяется формулой для индукции кругового тока на оси в любой точке умноженное на число витков (рис.182)

.

Катушка 2 обладает магнитным моментом, который равен

,

(456)

где - площадь сечения катушки.

Тогда на магнитный момент со стороны поля действует сила, равная

.

(457)

Подставляя (455) и (456) в (457) и с учетом, что , получим

.

(458)

6. Чему равна циркуляция вектора магнитной индукции В произвольного контура, охватываемого током (рис.183)?

Рис.183

Решение.

По теореме циркуляции вычисляется формулой

. (459)

Условно токи, текущие от нас к плоскости чертежа с плюсом, на нас – со знаком минус. Токи, находящиеся вне контура, циркуляция равна нулю. Поэтому .

7. Однородное поле с индукцией помещена квадратная рамка со сто- роной a=0,05 м, имеющая N=10 витков. Плоскость рамки составляет с направлением магнитного поля угол .

Определите:

1) магнитный поток, пронизывающий рамку;

2) работу, совершаемую магнитным полем при повороте рамки к положению

Рис. 184

равновесия, если по виткам про пустить ток I= 10 А (рис.184).

Решение.

1. Магнитный поток рамки определяется формулой

, (460)

где S – площадь рамки

; (461)

N – число витков рамки;

- угол между векторами и - нормалью рамки.

.

(462)

С учетом (461) и (462) получим

.

Магнитный момент рамки равен

.

(463)

На магнитный момент со стороны поля действует момент силы

,

(464)

которая совершает работу

.

(465)

.

Тогда работа равна

8. Виток, по которому течет ток , свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией В=0,02 Тл. Диаметр витка . Какую работу нужно совершить: а) по перемещению витка в область пространства без магнитного поля; б) для поворота витка на угол относительно оси, совпадающей с диаметром?

Рис.185

Решение.

а) Работа, совершаемая силой тока, определяется формулой

, (466)

Ф₁ и Ф₂ – магнитные потоки, пронизывающие виток в начальном и конечном положениях (рис.185). Магнитный поток определяется формулой

, (467)

где - угол между векторами нормали витка и индукцией . В данной задаче , т.к. вектор нормаль совпадает с вектором индукции . Поэтому с учетом (467) работа (466) вычисляется формулой

,

(468)

где - площадь витка.

, т.к. . Подставляя численные значения, получим

.

Рис.186

Знак (-) показывает, что работа совершается внешними силами.

б) При повороте витка момент силы, действующий на виток, совершает работу (рис.186)

, (469)

где - магнитный момент витка. Из рис.186 видно, что . По условию задачи . Поэтому работа равна

9. Тороид прямоугольного сечения содержит N=500 витков. Наружный диаметр тороида D=0,4 м, внутренний d=0,2 м. Ток, текущий по обмотке, I=2 A. Опреде

Рис187

лите: а) максимальное и минимальное значение индукции в тороиде; б) магнитный поток через сечение тороида.

Решение.

На рис.187а пунктирной линией показана силовая линия магнитного поля, а на

рис.187б – сечение тороида. Индукция поля внутри тороида определяется формулой

, (470)

где l – длина тороида.

Если , то индукция минимальна и равна

Тл.

Если , то индукция максимальна и равна

.

(471)

Магнитный поток через сечение тороида определяется

,

(472)

где - элементарная площадь, через которую пронизывает магнитный поток.

10. Протон и электрон, имеющие одинаковую скорость, попадают в однородное магнитное поле, индукция которого перпендикулярна скорости зарядов. Как будут отличаться траектории заряженных частиц?

Решение.

На заряженные частицы будет действовать сила Лоренца (рис.188)

Рис.188

, (473)

где q, V – заряд и скорость частицы. По условию задачи - угол между векторами и . Поэтому (473) запишется в виде

. (474)

Под действием силы частицы будут двигаться по траектории окружности (на рис.188 верхняя траектория для протона, нижняя – для электрона).

По второму закону Ньютона

или или .

(475)

Из (475) видно, что при одинаковых V, q, B радиус кривизны зависит от массы m частицы. Т.к. масса протона примерно 1800 раз больше массы электрона, то радиус кривизны протона на 1800 раз больше, чем радиус кривизны электрона.

11. Протон, имеющий скорость , влетает в однородное магнитное поле с индукцией под углом к ее направлению. Определите радиус, пе

Рис.189

риод обращения и шаг винтовой линии, по которой будет двигаться протон. Масса протона , заряд .

Решение.

Скорость протона можно разложить на - составляющая скорость параллельна линиям индукции и - составляющая скорость перпендикулярна линиям индукции (в данном случае она направлена на нас от плоскости чертежа рис.189).

и .

(476)

На протон действует сила Лоренца, которая равна (см. на рис.187)

.

(477)

По второму закону Ньютона

,

и радиус траектории равен

.

(478)

Период обращения равен

.

(479)

Он не зависит от скорости частицы.

Так как частица обладает продольной скоростью , то она будет двигаться по винтовой траектории. Поэтому за время Т протон перемещается вдоль поля расстояние, равное

.

(480)

Подставляя численные значения, получим

.

12. Однородные электрическое (Е= 500 В/м) и магнитное () поля взаимно перпендикулярны. Какой должна быть скорость электрона по величине и направлению, чтобы его движение было прямолинейным и равномерным? Определите энергию электрона.

Рис.190

Решение.

На электрон действуют электрическая сила (рис.190)

(481)

и магнитная сила Лоренца

, (482)

т.к. , то

. (483)

Для того, чтобы электрон двигался прямолинейно и равномерно сумма всех сил, действующих на него, должна равна нулю, т.е.

или .

Энергия электрона равна

или .

13. По металлической ленте толщиной и шириной течет ток силой . Лента помещена в магнитное поле с индукцией В=1 Тл перпендикулярно ленте. Определите разность потенциалов между точками А и С (рис.191).

Рис.191

Число электронов в единице объема равно . Заряд электрона ,

масса (рис.191).

Решение.

Холловская разность потенциалов определяется формулой

, (484)

где - плотность тока, - сечение ленты, а – ширина ленты. Тогда

.

14. Протон ускоряется электрическим полем напряженностью , действующим на протяжении , затем он попадает в однородное магнитное

q_p

+

Рис.192

поле с индукцией В= 1 Тл, действующее в плоскости, перпендикулярной электрическому полю. Определите: а) циклическую частоту вращения протона в магнитном поле, б) радиус траектории вращения протона (рис.192).

Решение.

Работа сил электрического поля по перемещению протона на пути l равна

.

(485)

С другой стороны она равна изменению кинетической энергии

.

(486)

Т.к. начальная скорость протона равна нулю, то

или .

(487)

Со скоростью протон влетает в магнитное поле, где на него действует сила Лоренца , и движение будет по круговой орбите (рис.192)

По второму закону Ньютона с учетом (487)

,

находим радиус орбиты .

Период обращения с учетом (487) и радиуса R равен:

.

(489)

Циклическая частота связана с периодом (489) соотношением

Дата добавления: 2014-01-07