Понятие множества

Лекция 2. Элементы теории множеств.

До второй половины XIX века понятие «множества» не рассматривалось в качестве математического («множество книг на полке», «множество человеческих добродетелей» и т.д.— всё это чисто бытовые обороты речи). Первый набросок теории множеств принадлежит Бернарду Больцано («Парадоксы бесконечного», 1850). В этой работе рассматриваются произвольные (числовые) множества, и для их сравнения определено понятие взаимно-однозначного соответствия. В 1870 году немецкий математик Георг Кантор разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен был оказываться тем или иным «множеством». Этот подход изложен в двух его статьях, опубликованных в 1879—1897 годах в известном немецком журнале «Математические анналы» (нем. «Mathematische Annalen»).^[1] Например, натуральное число, по Кантору, следовало рассматривать как множество, состоящее из единственного элемента другого множества, называемого «натуральным рядом» — который, в свою очередь, сам представляет собой множество, удовлетворяющее так называемым аксиомам Пеано. При этом общему понятию «множества», рассматривавшемуся им в качестве центрального для математики, Кантор давал мало что определяющие определения вроде «множество есть многое, мыслимое как единое», и т. д. Это вполне соответствовало умонастроению самого Кантора, подчёркнуто называвшего свою программу не «теорией множеств» (этот термин появился много позднее), а учением о множествах (Mengenlehre).

В современной математике понятие множества считается одним из основных. Универсальность этого понятия в том, что под него можно подвести любую совокупность предметов. Здесь годится все: марки, числа, люди, точки, звезды, векторы, тигры, функции, … Даже сами множества могут объединяться во множества: например, математики говорят про множество фигур на плоскости, про множество тел в пространстве, но каждую фигуру, каждое тело они мыслят как множество точек.

Плодотворность теоретико-множественной концепции математики заключается в том, что она породила весьма богатый и мощный арсенал широких понятий и универсальных методов.

Опр.2.1.1. Одним из фундаментальных, неопределяемых математических понятий является понятие множества. Множество можно представить себе как соединение, совокупность, собрание некоторых предметов, объединенных по какому-либо признаку (множество учащихся класса, множество букв алфавита, множество цифр десятичной нумерации, множество чисел первого десятка, множество натуральных чисел, множество точек на прямой, множество книг на полке и т.д.) без повторений.

1) Множество учебников по математике.

2) Множество студентов в группе.

3) Множество преподавателей в аудитории.

4) Множество точек плоскости.

Опр.2.1.2. Предметы, из которых состоит множество, называются его элементами (например, буква К – элемент множества букв русского алфавита).

Пример. Множество { дни недели } состоит из элементов: понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье.

«…Самое существенное в понятии множества – это акт объединения различных предметов в одно целое, именно в множество М, элементами которого (после акта объединения) будут данные предметы» [Лузин Н.Н. Теория функций действительного переменного. М. Учпедгиз, 1948].

Для названия множества иногда используют какое-либо одно слово, выступающее в роли синонима слова «множество» (зрители, стая, семья, фрукты).

Обозначают множества заглавными буквами латинского алфавита или символически с помощью фигурных скобок, в которых указываются его элементы. Сами элементы некоторого множества будем обозначать малыми латинскими буквами, если они не имеют специальных обозначений:

А; {а, b, c}; N={1,2,3,4,5,6,7,8, …}.

Принадлежность предмета некоторому множеству обозначают с помощью символа Î (в противном случае используется символ Ï).

Запись а Î А означает, что а есть элемент множества А.

Запись 4Ï{1,2,3} означает, что 4 не принадлежит множеству {1,2,3}.

Пример. Если A – множество { дни недели }, то пятница Î A, а апрель Ï A.

Опр.2.1.3. Множество, количество элементов которого, выражается некоторым числом, называется конечным.

Примеры. 1) Множество студентов-отличников в университете. 2) Множество песчинок в мешке с песком.

Опр.2.1.4. Множество, содержащее бесконечное число элементов, называется бесконечным.

Пример: множество звезд во Вселенной.

Опр.2.1.5. Множество, которое не содержит ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом Ø.

Примеры. 1)Множество людей, имеющих рост 5 см.

2) Множество натуральных чисел, расположенных в натуральном ряду между числами 6 и 7.

В пустом множестве количество элементов выражается числом 0, следовательно, оно конечное.

Иногда бывает трудно сказать, пусты ли те или иные множества. Например, до сих пор неизвестно, пусто ли множество всех живых динозавров на земном шаре, – если чудовище озера Лох-Несс действительно окажется динозавром, то это множество не пусто.

Способы задания множеств

Чтобы задать множество, необходимо знать, какие объекты принадлежат множеству, а какие нет.

Основными способами задания множеств являются:

1) перечисление всех его элементов: А={1, 3, а, с}, В={река Волга, город Москва, планета Меркурий};

2) задание множества описанием свойств элементов: А={множество успевающих студентов 1 курса}.

3) описание (указание характеристического свойства его элементов). Этот способ требует указания такого признака, который имеется у всех элементов данного множества и не свойственен элементам, не входящим в данное множество. Например, характеристическим свойством натуральных чисел является возможность их использования при счете каких-либо предметов. Говоря о множестве четных чисел, мы указываем характеристическое свойство его элементов: М={хÎN: х/2}, т.е. каждое число, принадлежащее этому множеству, делится на два. В такой форме можно задавать любые (и конечные, и бесконечные) множества.

Примеры. 1) { х: х ² − 3 х + 2 = 0} – множество корней уравнения х ² − 3 х + 2 = 0 Это конечное множество.

2) { r: r = q/p, где p и q – целые числа, q ≠ 0} – множество рациональных чисел. Это бесконечное множество.

3) {студент филологического. факультета: отличник} – множество отличников на филологическом факультете.

4) Задайте перечислением элементов множества, заданные характеристическим свойством:

А) А = { n: n Î N, 3 ≤ n ≤ 12},

В) В = { х: х Î R, –3 ≤ х ≤ 4}

С) C = { х: х ²– 3 х + 2 = 0}.

Решение: А) А={множество натуральных чисел, заключенных между 3 и 12}, отсюда следует А = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}.

В) Если В = { х: х Î R, –3 ≤ х ≤ 4}, то В — отрезок [–3; 4].

С) Если С = { х: х ²– 3 х + 2 = 0} — множество корней квадратного уравнения, то С = {1; 2}.

5) Задайте характеристическим свойством множества:

1) всех правильных многоугольников;

2) параллельных прямых;

3) всех натуральных чисел, кратных 5.

Решение: 1) { многоугольники с равными сторонами и равными углами};

2) {прямые, не имеющие общих точек};

3) {5n: n Î N}.

Опр.2.1.6. Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными (одинаковыми). Пишут А=В.

Примеры. 1) A есть множество корней уравнения х ² + 5 х + 4 = 0, B есть множество, состоящее из двух элементов: –1 и –4, A = B.

2) Все теоремы о том, что некоторое условие является необходимым и достаточным, – это теорема о совпадении двух множеств. Например: «Для того, чтобы параллелограмм был ромбом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали были взаимно перпендикулярны».

3) В городе в течение некоторого времени совершено два похожих ограбления. Оказалось, что действовала одна и та же группировка. Если А – множество лиц, совершивших первое ограбление, а В – множество лиц, совершивших второе ограбление, то А = В.

Следует обратить внимание на то, что обиходное слово «много» и математический термин «множество» имеют различный смысл, хотя и звучат почти одинаково. Множество может состоять из небольшого количества элементов. Договоримся обозначать количество элементов в некотором множестве А через m (А).

Примеры. 1) А={а, b, c}, m (А)=3;

2) В={1, 2, 3, 1, 5, 3}, m (В)=4;

3) N={множество всех натуральных чисел}, m (N) = ∞.

Дата добавления: 2014-01-07