Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Операции над множествами

Читайте также:
  1. I. Понятие банковской операции. Виды банковских операций и сделок.
  2. VI. Операции уполномоченных банков с валютными ценностями.
  3. XIII. Файловая структура ОС. Операции с файлами
  4. Агентские операции.
  5. Аддитивные операции
  6. Алгебраические операции на множестве целых чисел.
  7. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ И ОПЕРАЦИИ
  8. Арифметические операции над комплексными числами.
  9. Арифметические операции над числами, представленными с фиксированной точкой
  10. Банковская система и ее элементы. Основные принципы банковской системы. Банковские операции и банковская деятельность
  11. Банковские операции и другие сделки кредитной организации
  12. Банковские операции и сделки



После того, как мы научились составлять и различать множества, можно приступить к определению и других операций над ними.

Естественно, что два множества могут иметь одинаковые элементы (их можно выделить в отдельное множество), из всех элементов двух множеств можно составить одно новое множество, также можно рассмотреть отдельно элементы одного множества, которых во втором множестве нет.

Например, А – множество наклеек (марок), которые есть у Пети, В – множество наклеек, которые собрал Вася. Можно выделить множество наклеек, которые есть у обоих ребят; коллекцию различных наклеек, собранных ими вместе; множество наклеек Пети, которых нет у Васи.

Таким образом, мы проделали операции пересечения, объединения и разности двух множеств.

Опр.2.3.1. Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из данных множеств: С={х |хÎА и хÎВ}. Обозначается, А∩В.

Примеры. 1) Пусть A = {1; 2; 3}, B = {2; 3; 4; 5}, D = {10; 11}, тогда AB = {2; 3}, A D = Æ.

2) А = {2n : n Î N} — множество чисел, делящихся на 2, B = {3n : n Î N} — множество чисел, делящихся на 3, тогда A B = {6n | n Î N} — множество чисел, делящихся на 6.

3) А — отрезок [0; 5], В — отрезок [2; 7], тогда A B — отрезок [2; 5].

4) Студент, сдавший все экзамены на «отлично» получает повышенную стипендию. Сессия состоит из четырех экзаменов. Пусть Аi – множество студентов, сдавших i-й экзамен на «отлично» (i = 1, 2, 3,4), тогда:


I – множество студентов, получающих повышенную стипендию.

Опр. 2.3.2. Объединением множеств А и В называется множество С, которое состоит из всех элементов данных множеств А и В и только из них: С={х |хÎА или хÎВ}. Обозначается, А UВ.

Примеры.1) A = {1; 2; 3}, B = {2; 3; 4; 5}, тогда C = A U B == {1; 2; 3; 4; 5}.

2) A = (–∞, 2], B = (1, +∞), тогда C = A U B = R.

3) А = [0; 7], В = [3; 10], тогда A U B = [0; 10].

3) Если А – множество студентов, не сдавших первый экзамен, В – второй, то А U В – множество студентов – задолжников после двух экзаменов (не исключено, что кто-то не сдал оба экзамена).

Опр.2.3.3. Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В: С={х | х Î А и х Ï В}. Обозначается, А\В.

Примеры 1) A = {1; 2; 3}, B = {2; 3; 4; 5}, тогда А\В={1}, В\А={4, 5}.

2) R \ Q – множество иррациональных чисел.

3) Q \ R = Æ.

Опр.2.3.4. Симметричной разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В и всех элементов множества В, не принадлежащих множеству А: С={х | (х Î А и х Ï В) или (х Î В и х Ï А) }. Обозначается, А∆В.



Пример. А={1,2,3,4,5}, В={4,5,6,7}, А∆В= {1,2,3,6,7}

В каждом отдельном случае мы рассматриваем всевозможные подмножества одного и того же множества. Например, в начальной школе дети учатся работать (выполнять основные арифметические операции) сначала с числами из первого десятка натуральных чисел, затем из первой сотни и т.д. Но их действия не выходят за рамки натуральных чисел (отрицательные и дробные числа они будут проходить позже). Аналогично, учитель может работать с некоторыми группами учеников, которые будут являться подмножествами определенного множества обучаемых данным учителем школьников. Каждый человек носит различные комбинации вещей, но только из своего личного гардероба. Это основное множество (свое в каждом отдельном случае) называется универсальным множеством.

Опр.2.3.5. Универсальным множеством называется множество, подмножества которого (и только они) в данный момент рассматриваются. Обозначают, Е (или U в разной литературе).

При работе с числовыми множествами, если не дается дополнительных указаний, в качестве основного (универсального) множества будем считать множество R действительных чисел.

Опр.2.3.6. Дополнением множества А называется разность Е\А. Обозначается, А’ или и читается «не-А». Иначе, дополнением множества А называется множество А’, состоящее из всех элементов, не принадлежащих множеству А.

Примеры. 1) Е ={множество студентов в группе}, A ={множество студентов, сдавших первый экзамен}, то А’ ={множество студентов, не сдавших первый экзамен}.

2) Е={буквы русского алфавита}, А={множество гласных букв}, тогда

А’={множество согласных букв и букв ь и ъ}.

3) Пусть Е – множество сотрудников школы, A – множество сотрудников старше 30 лет, B – множество сотрудников мужского пола, C – множество сотрудников занимающих должности вспомогательного персонала.

Тогда В – множество женщин; А’ÇВÇC – множество мужчин занимающих должности вспомогательного персонала младше 30 лет; АÈ(ВÇС’) – множество сотрудников старше 30 лет или мужчин не занимающих должности вспомогательного персонала; B\C – множество мужчин, не являющихся вспомогательным персоналом; C\B – множество сотрудников вспомогательного персонала – женщин.

4) Даны множества А={2, 3, 5, 8, 13, 15}, В={1, 3, 4, 8, 16}, С={12, 13, 15, 16}, D={0, 1, 20}. Найти АUВ, СUD, В∩С, А∩D, А\С, D\В, АUВUС, А∩В∩С, ВUD∩С, А∩С\D.

Решение: Будем пользоваться определениями соответствующих операций и учтем, что сначала должна выполняться операция пересечения множеств, а затем уже объединение или разность.

Получим АUВ={1, 2, 3, 4, 5, 8, 13, 15, 16};

СUD={0, 1, 12, 13, 15, 16, 20};

В∩С={16};

А∩D=Æ;

А\С={2, 3, 5, 8};

D\В={0, 20};

АUВUС={1, 2, 3,4, 5, 8, 12, 13, 15, 16};

А∩В∩С=Æ;

ВUD∩С={1, 3, 4, 8, 16};

А∩С\D={13, 15}.

5) Пусть Е={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9}, A={1, 2, 3, 5}, B={2, 4, 6, 8}, C={1, 3, 5, 7}, D={4, 5, 7, 8}. Выразить через заданные множества A, B, C, D следующие множества: 1) К={1,2,3,4,5,7,8}, 2) L={4, 7 ,8}, 3) F={2, 5}, 4) G={5, 7, 9}.

Решение: 1) K={1,2,3,4,5,7,8}=AUD.

2) L={4, 7 ,8}=D\A.

3) F={2, 5},

а) C\D={1, 3},

б) A\(C\D)={2, 5}.

4) G={5, 7, 9},

а) A∩D={5},

б) AUB={1, 2, 3, 4, 5, 6, 8},

в) (AUB)’={7, 9},

г) (A∩D)U((AUB)’)={5, 7, 9}.

Свойства операций над множествами:

Таблица 2.3.1.

Свойства операции пересечения: 1) А∩А=А; 2) А∩Ø=Ø; 3) А∩А’= Ø; 4) А∩Е=А; 5) А∩В=В∩А. Свойства операции объединения: 1) АUА=А; 2) АU Ø =А; 3) АUА’=Е; 4) АUЕ=Е; 5) АUВ=ВUА.
Свойства операции разности:
1) А\А=Ø; 2) А\ Ø =А; 3) А\А’= А; 4) А\Е=Ø; 5) Е\А=А’; 6) Ø \А=Ø; 7) А\В ≠ В\А.

§ 2.4. Диаграммы Эйлера-Венна, таблицы вхождения элементов, координатная плоскость.

Для наглядного представления (графического изображения) множеств и результатов операций над ними удобно пользоваться так называемыми диаграммами Эйлера-Венна (кругами Эйлера).

При этом множества изображаются на плоскости в виде замкнутых кругов, а универсальное множество в виде прямоугольника. Элементы множества – точки внутри соответствующего круга.

 

Таблица 2.4.1.

Объединение АВ:
 
 

Пересечение А∩В:
 
 

Разность: А\В
 
 

Разность: В\А
 
 

Симметричная разность А∆В:
 
 

Дополнение А’:

Примеры:Изобразить следующие множество с помощью диаграммы Венна

1) (АUВ)\(С∩А):

Таблица 2.4.2.

1)(АUВ)
 
 

2) (С∩А)
 
 

3) (АUВ)\(С∩А)

 

2) А∩В∩С;

а) А∩В б) А∩В∩С

3) В\(АUС);

а) АUС
 
 

б) В\(АUС)

4) (ВΔА)\С.

а) ВΔА
 
 

б) (ВΔА)\С

5) Выразить через множества А,В,С множество Е, которому соответствует заштрихованная область.


1. А∩В
 
 

2. В∩С 3.(А∩В)U(В∩С)
 
 

Есть и другой способ проиллюстрировать операции над множествами. Это, так называемая, таблица вхождения элементов в множества, в которой рассматриваются все возможные случаи вхождения выбранного элемента в множества А и В и их комбинации. Результат принадлежности этого элемента множествам А и В отмечают в первых двух столбцах таблицы по правилу: 1 – если элемент входит в данное множество, 0 – если не входит. Получится четыре случая или четыре строчки в таблице. Столбцы, соответствующие операциям A U B, A B, A \ B, заполняются согласно определений этих операций (табл. 1).


Например, вторая строка в табл. 1 читается так: если элемент входит в A, но не входит в B, то он входит в А U В, не входит в А В, но входит в A\B.

Примеры. 1) С помощью таблицы вхождения элементов определите верно ли следующее равенство UВ) = А В


Из таблицы вхождения элементов в множества видно, что при различных вариантах вхождения элемента в множества А, В он входит или не входит в левую и правую части рассматриваемого равенства одновременно (см. четвертый и седьмой столбцы). Значит UВ) = А В’.

2) С помощью таблицы вхождения элементов определите верно ли следующее равенство ( В UС) \ В = С.


Второй и четвертый столбцы не совпадают, поэтому это равенство неверное.

На координатной прямой множества изображаются в виде отрезка, концы которого показываются кружками: закрашенным кружком, если координата конца отрезка принадлежит множеству, в противном случае – не закрашенным кружком. Например, множество A = {x : − 2 < x ≤ 3} на координатной прямой можно показать так:


Примеры: Даны множества:

1) A = {x: − 5 ≤ x ≤ 6}, B = {x: − 3 < x < 8},

2) A = {х : −3 < х ≤ 2} и B = {х : 0 ≤ х < 5},

3) C = {х : 2 < х < 4} и D = {х : 3 ≤ х ≤ 5},

4) E = {х : −3 ≤ х ≤ 2} и F = {х : 2 < х ≤ 5}.

Найдите пересечения множеств и покажите их на координатной прямой.

Решение:

1)Изобразим на координатной прямой множества А и В:

 
 

 


-3ÏВ, значит, пересечению множеств А и В будут принадлежать все точки полуинтервала (-3, 6].

 

 

 
 

 


Зададим его с помощью характеристического свойства: AB = {х : -3 < х ≤ 6}.

2) Изобразим на координатной прямой данные множества:

 


Множеству А и множеству В принадлежат все точки отрезка [0, 2]. Значит, пересечение множеств А и В можно изобразить на координатной прямой следующим образом:

 

Зададим его с помощью характеристического свойства: AB = {х : 0 ≤ х ≤ 2}.

3) Изобразим на координатной прямой множества C = {х : 2 < х < 4} и D = {х : 3 ≤ х ≤ 5}:

 

 

C, значит, пересечению множеств С и D будут принадлежать все точки полуинтервала [3, 4), точка 4 пересечению принадлежать не будет, т.е. C D = {х : 3 ≤ х < 4}.

 
 

 


4) Изобразим на координатной прямой множества E = {х : −3 ≤ х ≤ 2} и F = {х : 2 < х ≤ 5}:

 

 

Видим, что и 2ÏF , т.е. множества Е и F не имеют общих элементов, значит, E F = Æ.

5) G = {х : −3 ≤ х < 5} и S = {х : 3 ≤ х < 10}. На координатной прямой изобразить разность множеств G и S и разность множеств S и G.

Решение: Изобразим на координатной прямой множества G и S :

 
 

 


Так как 3ÎG и 3ÎS, то 3ÏG\S. Значит, G\S= {-3≤ х <3}, S\G={5≤ х< 10}:

 
 

 





Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 1788; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ip: 54.161.73.123
Генерация страницы за: 0.013 сек.