Критерий серий

В образовавшейся последовательности типов определяется число серий. Серией называется любая последовательность элементов одинакового типа, граничащая с элементами другого типа.

Структура ряда динамики. Проверка ряда на наличие тренда

Всякий ряд динамики теоретически может быть представлен в виде составляющих:

1) тренд - основная тенденция развития динамического ряда (к увеличению либо снижению его уровней);

2) циклические (периодические) колебания, в том числе сезонные;

3) случайные колебания.

Изучение тренда включает два основных этапа:

1) ряд динамики проверяется на наличие тренда;

2) производится выравнивание временного ряда и непосредственное выделение тренда с экстраполяцией полученных результатов.

Проверка на наличие тренда в ряду динамики может быть осуществлена по нескольким критериям.

1. Метод средних.

Изучаемый ряд динамики разбивается на несколько интервалов (обычно на два), для каждого из которых определяется средняя величина (У, У). Выдвигается гипотеза о существенном различии средних. Если эта гипотеза принимается, то признается наличие тренда.

2. Фазочастотный критерий знаков первой разности (Валлиса и Мура).

Суть его заключается в следующем: наличие тренда в динамическом ряду утверждается в том случае, если этот ряд не содержит либо содержит в приемлемом количестве фазы - изменение знака разности первого порядка (абсолютного цепного прироста).

3. Критерий Кокса и Стюарта.

Весь анализируемый ряд динамики разбивают на три равные по числу уровней группы (в том случае, если количество уровней ряда динамики не делится на три, недостающие уровни нужно добавить) и сравнивают между собой уровни первой и последней групп.

4. Метод серий.

По этому способу каждый конкретный уровень временного ряда считается принадлежащим к одному из двух типов: например, если уровень ряда меньше медианного значения, то считается, что он имеет тип А, в противном случае - тип В.

Так как имеющиеся данные могут иметь различные функции распределения, то целесообразно принимать решение о наличии тренда на основе использования свободных от распределений или непараметрических методов, в которых относительно функции распределения полученных данных не делается никаких предположений. Или же данных настолько мало, что корректно проверить гипотезу о наличии конкретного распределения невозможно. Наиболее известными не зависящих от формы распределе­ния методами, которые применяются для оценки наличия тренда в совокупности данных, являются: критерий серий и критерий инверсий.

Рассмотрим последовательность N значений случай­ной величины x(k) и каждое значение отнесем к одной из двух взаимно исключающих категорий, которые обозначим знаками плюс (+) и минус (-). В качестве при­мера рассмотрим последовательность измеренных значений величины x_i при i = 1, 2, 3,..., N, среднее значение кото­рых равно . Каждое наблюденное значение
x_i ³ обозначим (+), а если x_i < , то (-).

Полученная последователь­ность наблюдений, имеющих знак плюс или минус, может выглядеть следующим образом:

+ + - + + - + + + - + - - + - - + - - -

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Серией называется последовательность одинаковых значе­ний, перед которыми или после которых расположены значения другой категории или наблюдения отсутствуют вообще.

В рассмотренном примере имеется r = 12 серий в последовательности из N = 20 наблюдений.

Число серий, которое встречается в последовательности наблюде­ний, позволяет определить, являются ли результаты независимыми случайными наблюдениями над одной и той же случайной величиной. Если после-довательность N наблюдений представляет собой независимые наблюденные значения одной и той же случайной вели­чины, т. е. вероятность знаков (+) и (-) не меняется от одного наблю­дения к другому, то выборочное распределение числа серий в после­довательности есть случайная величина r(k) со средним значением

и дисперсией

где N₁ - число наблюдений со знаком (+), N₂ - число наблю­дений со знаком (-). В частном случае, когда N₁ = N₂ =N/2, представленные соот­ношения перепишутся в виде

В приложении 1 приведена таблица, содержащая данные о 100a-про-центных точках функции распределения r(k).

Если последовательность значений содержит тренд, то это означает, что вероятность знаков (+) или (-) меняется от одного наблюденного значения к другому. Нали­чие тренда можно проверить следующим образом. Рассмотрим гипотезу об отсутствии тренда, т. е. предположим, что полученные данные представляет собой независимые значения одной и той же случайной величины. Полагая, что число наблюденных значений со знаком (+) равно числу значений со знаком (-), можно считать, что число серий в последовательности будет иметь выборочное распределение, представленное в приложении 1. Гипотезу можно подвергнуть проверке при любом уровне значимости a путем сопоставления фактического числа серий с гра­ничными значениями r_{n; 1-a/2} и r_{n; a/2}, где n=N/2. Если фактическое число серий выходит за границы этого интервала, гипотезу следует отвергнуть при выбранном уровне значимости. В противном случае ее можно принять.

Например, имеется последовательность из N=20 чисел: 5,5; 5,1; 5,7; 5,2; 4,8; 5,7; 5,0; 6,5; 5,4; 5,8; 6,8; 6,6; 4,9; 5,4; 5,9; 5,4; 6,8; 5,8; 6,9; 5,5.

Определим, являются ли независимыми наблюденные значения, путем проверки числа серий, которые встречаются, если отсчитывать наблю­денные значения от их медианы. Выполним проверку при уровне значимости a = 0,05.

Просматривая выборку, можно убедиться, что медианой данного ряда является значение x = 5,6. Примем, что числа более 5,6 имеют знак (+), а менее 5,6 - знак (-). В результате получаем последовательность

- - + - - + - + - + + + - - + - + + + -

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Таким образом, имеется 13 серий, представляющих последователь­ность 20 наблюденных значений.

Рассмотрим гипотезу о независимости наблюденных значений. Область принятия этой гипотезы опреде­ляется интервалом [r_{10; 1-a/2} < r £ r_{10; a/2}].
По данным приложения 1 при a = 0,05 находим r_{10; 1-a/2} = r_{10; 0,975} = 6 и
r_{10; a/2} = r_{10; 0,025} = 15. Нулевая гипотеза принимается, так как значение r = 13 входит в интервал между 6 и 15. Другими словами нет причин подвергнуть сомнению то обстоятель­ство, что наблюденные значения независимы. Это значит, что нет никаких доказательств присутствия тренда.

Дата добавления: 2014-01-07