Бифуркация коразмерности три — четырехкратное равновесие

но, однако,

Пусть при некоторых значениях параметров в системе (3 1) для положения равновесия х₀ одновременно нарушают­ся все упомянутые условия невырожденности:

При этом будет четырехкратным корнем уравнения (3 2).

Модельная система для данной бифуркации имеет вид:

где

Бифуркационные диаграммы системы (3.9) эквивалентны для всех . В случае диаграмма изображена на рис. 3.7 (диаграмму для с<0 можно получить из данной с помощью замены ) В системе (3 9) могут существовать два или четыре грубых положения равновесия Эти равновесия попарно сливаются на бифуркационной поверхности S коразмерности один в

Рис 3 7 Бифуркационная поверхность в окрестности бифуркации «четырехкратное равновесие» («ласточкин хвост»)

Рис 3 8 Бифуркационная диаграмма и фазовые портреты для бифуркации «четырехкратное равновесие» (случай с>0)

пространстве параметров, имеющей вид «ласточкиного хвоста». На ребрах возврата , и А₂ этой поверхности происходит бифуркация коразмерности два, описанная выше,— сливаются три положения равновесия. Наконец, в точке Х = (0, 0, 0) мы получаем четырехкратное равновесие.

При изображении бифуркационной диаграммы для бифуркации коразмерности три удобно пользоваться следующим графическим приемом Построим в пространстве параметров сферу малого радиуса с центром в нуле. Тогда совокупность бифуркационных линий и точек на поверхности сферы однозначно определяет взаимное расположение бифуркационных поверхностей и линий в полной трехмерной бифуркационной диаграмме. Диаграмму на сфере удобно изображать на двух полусфе­рах, спроектировав их на плоскость. Представленная таким образом бифуркационная диаграмма для рассматриваемой бифуркации изображена на рис. 3.8.

Замечание. Поверхность S слияния двух равновесий имеет линию самопересечения. На этой линии происходит одновременное и независимое слияние двух пар положений равновесия. В дальнейшем бифуркации такого типа мы будем называть бифуркациями коразмерности «один плюс один».

Дата добавления: 2014-01-07