Основные свойства сходящихся последовательностей

Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел

Теорема 2. Сходящаяся последовательность ограничена

Замечание. Обратная теорема не имеет места, ибо ограниченная последовательность, вообще говоря, может и не быть сходящейся. Так, например,

{x_n}={1+(-1)ⁿ}=0, 2, 0, 2, 0, 2,... ограничена, но не является сходящейся. Действительно, если бы {x_n}Îс и , то

{x_n -a}Îd и {x_{n +1} - а}Îd, тогда и

{(x_n -a)- (x_{n +1} - а)} Îd (теорема 1,2,3).

Но {(x_n -a)- (x_{n +1} - а)}={x_n - x_{n +1}} не является бесконечно малой, т.к.

|x_n - x_{n +1}| = 2 для "nÎN.

Дата добавления: 2014-01-07