Обратная функция

Сложная функция

Функции, полученные в результате суперпозиции (или наложения) двух или нескольких функций, называются сложными.

Если функция y зависит от переменной x, т.е. y=f(x), xÎ{x}; a x, в свою очередь, является какой-либо функцией от независимой переменной t, т.е. x=j(t), tÎ{t}, то переменная y называется функцией от функции (или сложной функцией от t) и записывается в виде

y=f(x), x=j(t); или y=f(j(t)).

Область определения сложной функции - это множество тех значений t из {t}, для которых соответствующие значения x принадлежат области определения {x} функции y=f(x).

Пусть задана некоторая функция y=f(x), т.е. некоторое соответствие между множествами D(f) и E(f). Предположим, для определенности, что D(f)=[a,b], a E(f)=[a,b]. Пусть далее каждому yÎ[a,b] соответствует одно и только одно значение xÎ[a,b], для которого f(x)=y (рис.2). Тогда на сегменте [a,b] можно определить функцию x=f^-1 (y), ставя в соответствие каждому y из [a,b] то значение x из [a,b], для которого f(x)=y. Функция x=f^-1 (y) называется обратной для функции y=f(x).

Рис.2.

Замечание 1. Вместо сегментов [a,b] и [a,b] можно рассматривать интервалы (a,b) и (a,b). Можно допускать, что один или оба интервала (a,b) и (a,b) превращаются в бесконечную прямую или в открытую полупрямую.

Замечание 2. Если x=f^-1 (y) - обратная функция для y=f(x), то очевидно, функция y=f(x) является обратной для функции

x=f^-1 (y). Поэтому функции y=f(x) и x=f^-1 (y) называются взаимно обратными.

Одна и та же кривая y=f(x) представляет собой график функции y=f(x) и график обратной функции x=f^-1 (y) (если она существует), но в последнем случае значения аргумента рассматриваются на оси Oy, а значения функции - на оси Ox.

Если придерживаться стандартных обозначений и независимую переменную обозначать через x, а функцию через y, то функция, обратная по отношению к y=f(x), запишется в виде y=f^-1 (x). В этом случае график функции y=f^-1 (x) окажется симметричным графику функции y=f(x) относительно прямой x=y - биссектрисы Iи III координатных углов.

Для взаимно обратных функций имеют место следующие соотношения: D(f)=E(f^-1), E(f)=D(f^-1), т.е. область определения данной функции совпадает с множеством значений обратной функции и наоборот.

Дата добавления: 2014-01-07