Пределы на бесконечности

Определение 1. (предел f(x) при x®¥).

Определение 2. (предел f(x) при x®+¥).

Определение 3. (предел f(x) при x®- ¥).

Задача. Сформулировать определения 4-6 пределов по Гейне.

Замечание. Предел последовательности- частный случай предела функции {x}=N, x®¥.

Замечание. Определения односторонних пределов получаются как частный случай определения предела функции, если область определения функции {x} представляет собой правую (левую) полуокрестность т. а (или, соответственно, правую (левую) полупрямую) (см. рис.3 п.1.4.3.6.).

1.4.3.10. Арифметические операции над функциями, имеющими предел

Теорема 1.

(3)

Доказательство:

Пусть {x_n}- произвольная последовательность Гейне, тогда . Но по теоремам о пределах суммы, разности, произведения и частного для последовательностей следует

Так как {x_n}- произвольная последовательность Гейне, то по определению Гейне справедливы равенства (1)-(3).

Замечание. Доказательство для случаев x ® ±¥, x® ¥ проводятся по той же схеме.

Пример. Найти предел функции:

Теорема о пределе частного сразу не применима, т.к. Но так как x¹1, то

Дата добавления: 2014-01-07