Деление отрезка в данном отношении

Пусть на плоскости дан произвольный отрезок М₁М₂ и пусть М ─ любая точка этого отрезка, отличная от точки М₂ (рис.1.6). Число l, определяемое равенством l = =, называется отношением, в котором точка М делит отрезок М₁М₂.

Теорема 1.2. Если точка М(х;у) делит отрезок М₁М₂ в отношении l, то координаты этой точки определяются формулами

х = , у = , (4)

где (х₁;у₁) ─ координаты точки М₁, (х₂;у₂) ─ координаты точки М₂.

Доказательство. Докажем первую из формул (4). Вторая формула доказывается аналогично. Возможны два случая.

1) Прямая М₁М₂ перпендикулярна оси Ох. Тогда х₁ = х = х₂ и поэтому

х = х₁ = = = .

2) Прямая М₁М₂ не перпендикулярна оси Ох (рис.1.6). Опустим перпендикуляры из точек М₁, М, М₂ на ось Ох и обозначим точки их пересечения с осью Ох соответственно Р₁, Р, Р₂. По теореме о пропорциональных отрезках = l.

Т.к. Р₁Р = ôх – х₁ô, РР₂ = ôх₂ – хô и числа (х – х₁) и (х₂ – х) имеют один и тот же знак (при х₁ < х₂ они положительны, а при х₁ > х₂ отрицательны), то

l = = ,

х – х₁ = l(х₂ – х), х + lх = х₁ + lх₂,

х = .

Следствие 1.2.1. Если М₁(х₁;у₁) и М₂(х₂;у₂) ─ две произвольные точки и точка М(х;у) ─ середина отрезка М₁М₂, то

х = , у = . (5)

Доказательство. Так как М₁М = М₂М, то l = 1 и по формулам (4) получаем формулы (5).

Дата добавления: 2014-01-07