Расстояние между двумя точками

Пусть задана прямоугольная система координат.

Теорема 1.1. Для любых двух точек М₁(х₁;у₁) и М₂(х₂;у₂) плоскости расстояние d между ними выражается формулой

d = . (3)

Доказательство. Опустим из точек М₁ и М₂ перпендикуляры М₁В и М₂А соответственно на оси Оу и Ох и обозначим через К точку пересечения прямых М₁В и М₂А (рис.1.4). Возможны следующие случаи:

1)Точки М₁, М₂ и К различны. Очевидно, что точка К имеет координаты (х₂;у₁). Нетрудно заметить что М₁К = ôх₂ – х₁ô, М₂К = ôу₂ – у₁ô. Т.к. ∆М₁КМ₂ прямоугольный, то по теореме Пифагора d = М₁М₂ = = =.

2) Точка К совпадает с точкой М₂, но отлична от точки М₁ (рис.1.5). В этом случае у₂ = у₁ и

d = М₁М₂ = М₁К = ôх₂ – х₁ô= = =.

3) Точка К совпадает с точкой М₁, но отлична от точки М_2. В этом случае х₂ = х₁ и

d =М₁М₂ = КМ₂ = ôу₂- у₁ô= =.

4) Точка М₂ совпадает с точкой М₁. Тогда х₁ = х₂, у₁ = у₂ и

d = М₁М₂ = О =.

Дата добавления: 2014-01-07