Связь между полярными и декартовыми координатами

Чтобы установить связь между полярными координатами точки и её прямоугольными координатами, будем предполагать, что начало прямоугольной системы координат находится в полюсе, а положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью. Пусть точка М имеет прямоугольные координаты х₀ и у_о и полярные координаты r и j (рис.1.3).

Нетрудно доказать, что при любом расположении точки М, верны равенства

х₀ = rcosj, у₀ = rsinj. (1)

Формулы (1) выражают прямоугольные координаты через полярные. Выражения полярных координат через прямоугольные следуют из формул (1):

r = , tgj = . (2)

Заметим, что формула tgj = определяет два значения полярного угла j, т.к. 0≤j<2p. Из этих двух значений угла j выбирают то, при котором удовлетворяются равенства (1).

Пример. Даны прямоугольные координаты: (2;2). Найти её полярные координаты, считая, что полюс совмещён с началом прямоугольной системы координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс.

Решение. По формулам (2) имеем

r = = 2, tgj = = 1.

Тогда j = или j = . Но так как х>0 и у>0, то данная точка находится в первой координатной четверти. Следовательно, j = .

Дата добавления: 2014-01-07