Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

Пусть данная прямая имеет угловой коэффициент k и проходит через точку M₁(x₁;y₁). Искомое уравнение прямой y = kx + b. Наша задача: определить неизвестное число b.

Так как координаты точки M₁ удовлетворяют уравнению прямой, то

y₁ = kx₁ + b, откуда b = y₁ – kx₁. Имеем y = kx + (y₁ – kx₁) или

y – y₁ = k(x – x₁). (2)

Пусть прямая проходит через точки M₁(x₁;y₁) и M₂(x₂;y₂). Искомое уравнение прямой y = kx + b, где k и b ─ неизвестные числа.

Так как прямая проходит через точку М₁, то по уравнению (2)

y – y₁ = k(x – x₁).

Поскольку координаты точки М₂ также удовлетворяют этому уравнению, то

y₂ – y₁ = k(x₂ – x₁),

откуда

k = . (3)

Тогда искомое уравнение прямой

y – y₁ = (x – x₁)

или

= . (4)

Замечание 1. Формула (3) определяет угловой коэффициент прямой, проходящей через точки M₁ и M₂.

Замечание 2. В уравнении (4) один из знаменателей (x₂ – x₁) или (y₂ – y₁) может оказаться равным нулю (оба этих числа одновременно не могут быть равны нулю, ибо точки M₁ и M₂ различные). Так как пропорцию =мы понимаем как равенство ad = bc, то обращение в нуль одного из знаменателей означает обращение в нуль и соответствующего числителя. Если, например x₂ = x₁, то y₂ – y ₁¹ 0 и из (4) имеем

(y – y₁) × 0 = (y₂ – y₁)(x – x₁),

откуда следует равенство x = x₁. Это есть уравнение прямой по двум точкам в случае, когда x₂ = x₁.

Дата добавления: 2014-01-07