Координаты вектора

Свойства проекции векторов на ось.

1) пр_ℓ= × cos(^ℓ) (рис.8.8).

2) пр_ℓ(+ ) = пр_ℓ+ пр_ℓ (рис.8.9).

3) пр_ℓ() = пр_ℓ + … + пр_ℓ .

4) пр_ℓ() = (пр_ℓ ) (рис.8.10).

5) пр_ℓ () = (пр_ℓ + … + (пр_ℓ ).

Пусть в пространстве заданы прямоугольная система координат Oxyz и произв­ольный вектор . Пусть Х = пр_х, У = пр_х, Z = пр_х. Проекции X, Y, Z вектора на оси координат называют его координатами. При этом пишут = (Х, У, Z).

Теорема 8.1. Для любых точек А(х₁;у₁;z₁) и В(х₂;у₂;z₂) координаты вектора , определяются формулы:

Х = х₂ – х₁, У = у₂ – у₁, Z = z₂ – z₁.

Доказательство. По определению Х = пр_х. Если вектор направлен одинаково с осью Ох (рис.8.11), то пр_х А(х₁;у₁;z₁) и В(х₂;у₂;z₂) = ││= = х₂ – х₁, т.к. точке А₁ соответствует координата х₁, а точка В ─ координата х₂.

Если вектор направлен противоположно с осью Ох (рис.8.12), то

пр_х= −││= −= −(х₁ – х₂) = х₂ – х₁.

Таким образом, для любых точек А(х₁;у₁;z₁) и В(х₂;у₂;z₂) координата Х вектора вычисляется по формуле Х = х₂ – х₁.

Аналогично доказывается остальные формулы.

Пусть = (х₁;у₁;z₁), = (х₂;у₂;z₂),…, = (х_n;у_n;z_n) ─ векторы пространства, ─ ненулевые числа. Используя свойства проекции векторов на ось, получим следующие утверждения:

1) = ( ).

2) + + … + = (х₁ +…+ х_n; y₁ +…+ у_n; z₁ + …+ z_n).

3) − = (х₁ – х₂; у₁ – у₂; z₁ – z₂).

4) +... + = ( ).

5) = Þ х₁ = х₂, у₁ = у₂, z₁ = z₂.

Дата добавления: 2014-01-07