Длина вектора. Расстояние между точками в пространстве

Пусть дан произвольны вектор = (х₀;у₀;z₀). Построим равный ему вектор , начало которого совпадает с началом координат. Так как = , то = (х₀;у₀;z₀).

Проведём через конец вектора плоскость, перпендикулярные осям (рис.8.13). Вместе с координатными плоскостями они образуют прямоугольный параллелепипед, диагональю которого служит отрезок ОА. Из элементарной геометрии известно, что ОА² = .

Но ОА = , , , . Тогда из = имеем ² = х₀²+у₀²+z₀², откуда

(1)

Формула (1) выражает длину вектора через его координаты.

Пусть вектор = , где А(х₁;у₁;z₁), В(х₂;у₂;z₂). По теореме 8.1.

=(х₂ – х₁; у₂ – у₁; z₂ – z₁). Из формулы (1)

││= .

Так как d ─ расстояние между точками А и В, равно ││, то имеем формулу для нахождения расстояния между точками А и В

d = (2)

Дата добавления: 2014-01-07