Предел и непрерывность

Определение. Множество всех точек М(х;у), координаты которых удовлетворяют неравенству , называется −

окрестностью точки М₀(х₀;у₀) − это всё внутренние

точки круга с центром М₀ и радиусом (рис.21.2).

Определение. Пусть функция z = определена в некоторой окрестности точки М₀(х₀;у₀), кроме быть может, самой этой точки. Число А называется пределом функции z = при и (или, что то же самое, при М(х;у) → М₀(х₀;у₀)), если для любого > 0 существует такое, что для всех и из −окрестности точки М₀, выполняется неравенство Записывают:

А = или А = .

Пример. Найти .

Решение. Обозначим = . Тогда условие ; равносильно тому, что . Теперь

= = = .

Как правило, вычисление пределов функции двух переменных оказывается существенно более трудной задачей 7по сравнению со случаем одной переменной. Причина заключается в том, что на прямой существуют всего 2 направления, по которым аргумент может стремиться к предельной точке − а именно, справа и слева. На плоскости же таких направлений − бесконечное множество, и пределы функции по разным направлениям могут не совпадать.

Пример. Найти предел функции .

Решение. Будем приближаться к точке О(0;0) по прямым . Тогда

= = = .

Меняя значения , будем получать равные значения предела. Это означает, что данный предел не существует.

Предел функции двух переменных обладает свойствами, аналогичными свойствами предела функции одной переменной. Например, справедливо утверждение:

если функции и определены на множестве D и имеют в точке М₀ этого множества пределы А и В соответственно, то функции ± , ∙, ∕имеют в точке М₀ пределы, которые соответственно равны А ± В, АВ, А∕В (если В ≠ 0).

Определение. Функция z = называется непрерывной в точке , если она:

1) определена в точке ;

2) имеет конечный предел при и ;

3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. = .

Геометрический смысл непрерывности очевиден: график функции z = в точке представляет собой сплошную, нерасслаивающуюся поверхность. Напомним, что графиком функции z = называется совокупность точек трёхмерного пространства (рис.21.3).

Дата добавления: 2014-01-07