Частные производные первого порядка

Пусть задана функция z = . Так как и ─ независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять своё значение. Дадим независимой переменной приращение , сохраняя значение неизменным. Тогда z получим приращение, которое называется частным приращением z по x и обозначается . Итак,

= .

Аналогично определяется частное приращение z по у:

= .

Полное приращение функции z определяется равенством

= .

Если существует предел = , то он называется частной производной функции z = в точке Мпо переменной и обозначается одним из символов: , , , . Частные производные по в точке М₀обозначают символами ,

Аналогично определяется и обозначается частная производная от z = по переменной :

= = .

Таким образом, частная производная функции нескольких переменных (двух, трёх и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции находят по формулам и правилам вычисления производных функций одной переменной (при этом соответственнои считается постоянной величиной).

Пример. Найти частные производные функции z =

Решение. = = + + = 0 + + 0 = == .

= 2 + = 2.

Дата добавления: 2014-01-07