Экстремум функции двух переменных

Пусть функция z = определена в некоторой области D, точка .

Точка называется точкой максимума функции z = , если существует такая окрестность точки , что для каждой точки , отличной от , из этой окрестности выполняется неравенство: .

Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек , отличных от из окрестности точки выполняется неравенство: .

Значение функции в точке в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум называют её экстремумами.

Отметим, что, в силу определения, точка экстремума функции лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный) характер; значение функции в точке сравнивается с её значениями в точках, достаточно близких к . В области определения функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.

Теорема (необходимые условия экстремума).

Если в точке дифференцируемая функция z = имеет экстремум, то её частные производные в этой точке равны нулю: , .

Определение. Точка, в которой частные производные первого порядка функции

z =равны нулю, т.е. , , называется стационарной точкой функции z. Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками.

Для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо каждую критическую точку функции подвергнуть дополнительному исследованию.

Теорема (достаточное условие экстремума).

Пусть в стационарной точке и некоторой её окрестности функции имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке значения , , . Обозначим

= .

Тогда:

1) если , то функция в точке имеет экстремум: максимум, если А<0: минимум, если А>0;

2) если , то функция в точке экстремумов не имеет.

В случае, когда экстремум в точке может быть, а может и не быть.

Необходимы дополнительные исследования.

Пример. Найти экстремумы функции .

Решение. Находим , . Точки, в которых частные производные не существуют, отсутствуют. Находим стационарные точки, решая систему уравнений

Отсюда получаем точку М(1;-2). Находим частные производные второго порядка: , , . Тогда Вычисляем .

Так как и , то в точке М(1;-2) функция имеет минимум, равный = =1²+(-2)² – 2 ∙ 1 + 4 + (-2) + 8 = 3.

Дата добавления: 2014-01-07