Свойства средних величин

1. Если от каждой варианты отнять или прибавить одно и то же число, то средняя увеличится или уменьшится на то же число.

2. Если каждую варианту увеличить или уменьшить в a раз, то средняя увеличится или уменьшится в столько же раз.

3. Если все частоты увеличить или уменьшить в a раз, то средняя не изменится.

4. Если все частоты увеличить или уменьшить на a, то средняя изменится непредсказуемо.

5. Средняя арифметическая суммы нескольких величин равна суме средних арифметических этих величин.

6. Алгебраическая сумма отклонений значений признака от средней арифметической всегда равна нулю.

Пример: Найти среднюю урожайность в 2003 и 2004 гг.

№ колхоза	2003 г.	2004 г.
урожайность (ц/га)	площадь (га)	урожайность (ц/га)	Валовой сбор(ц)

Решение:

, где f -вес

(ц/га)

.

(ц/га)

3. Средняя хронологическая: применяется для расчёта средней величины, если исходные данные представлены на определённые даты, моменты времени:

Пример: Найти среднюю стоимость ОПФ

дата	1.01	1.02	1.03	1.04	1.05	1.06
стоимость ОПФ

Решение:

, , ,

, .

Приведем все расчеты к одному знаменателю: Х=‎‎‎

4. Средняя квадратическая: применяется для измерения вариации признака в совокупности:

,

5. Средняя кубическая: .

6. Средняя геометрическая: применяется чаще всего для определения средних темпов роста в единицу времени: ,,

Пример: Рассчитайте среднегодовые темпы роста

показатели	год
выпуск продукции				50,1	100,2
х1	х2	х3	х4	х5
коэффициент роста выпуска продукции	−	1,1	1,2	1,9
k1	k2	k3	k4

Решение:

, где m=n-1.

.

Средняя геометрическая, чаще всего, применяется в экономических расчетах, но учитывает только начало и конец ряда и недостаточно точно отражает динамику изменения, т.е. она не учитывает сумму ряда.

7. Средняя кумулятивная: .

Формула кумулятивной средней более чётко отражает динамику изменений и помогает увидеть сумму ранжированного ряда.

Все рассмотренные средние величины (кроме средней хронологической) являются степенными средними и выводятся из следующей формулы: , где получается при

k=-1 − средняя гармоническая;

k=0 − средняя геометрическая;

k=1 − средняя арифметическая;

k=2 − средняя квадратическая;

k=3 − средняя кубическая.

Все эти показатели рассчитываются для варьирующего признака для простых средних. Если все значения признака в ряде распределения одинаковы, то все значения средних равны. Между указанными средними величинами имеет место зависимость (для одного ряда распределения):

− это неравенство называется правилом мажорантности средних величин.

8. Структурные средние:

1) Структурное среднее мода (Mо) – наиболее часто встречающееся значение ряда, другими словами, мода – это варианта, имеющая наибольшую частоту. В дискретных рядах мода определяется визуально, в интервальных рядах визуально определяется модальный интервал, а мода (точечная) определяется по формуле: , где

x₀ − нижняя граница модального интервала;

i − шаг интервального ряда;

f_Mо − частота модального интервала;

f_Mо-1 − частота интервала, предшествующего модальному;

f_Mо+1 − частота интервала, следующего за модальным.

Пример: Найти Мо в дискретном и интервальном рядах.

дискретный ряд:	разряд			3
кол-во рабочих

интервальный ряд:	% выполнения плана	До 100	100-140	140-180	свыше 180
кол-во рабочих

.

2) Структурное среднее медиана (Mе) – значение, которое делит ранжированный ряд пополам.

В нечётных, чётных и дискретных рядах медиана определяется визуально, но в дискретных рядах она определяется с помощью накопленных частот. В интервальном ряду медианный интервал находится визуально, с помощью накопленных частот, а сама медиана (точечно) по формуле: , где

x₀ − нижняя граница медианного интервала;

i −шаг интервального ряда;

∑f − сумма накопленных частот;

S_Me-1 − сумма частот, накопленных до медианного интервала;

f_Me − частота медианного интервала.

Пример: Найти Ме в нечетных, четных, дискретных, интервальных рядах.

нечётный ряд: чётный ряд:

число детей в семье

2

4 и более

число детей в семье

2

3

5 и более

дискретный ряд:

разряд				4			∑
кол-во рабочих

интервальный ряд:

% выполнения плана	до 100	100-120	120-140	140-160	160-180	св.180	∑
кол-во рабочих

.

Если х сред. равно Мо = Ме – это симметричное распределение, если х сред не равно Мо, не равно Ме – распределение ассиметричное.

Дата добавления: 2014-01-07