Линейные и аффинные многообразия

Определение 1. Множество в линейном пространстве называется линейным многообразием (линейным множеством), если для любых и любых скаляров линейная комбинация .

Заметим, что поскольку является частью линейного пространства , то из определения линейного многообразия следует, что также само является линейным пространством.

Приведем примеры линейных многообразий.

Пример 1. Пусть — линейное пространство всех вещественных функций, определенных на . Тогда — линейное многообразие в . Это вытекает из известного в математическом анализе факта, что линейная комбинация двух непрерывных на функций есть функция, непрерывная на этом отрезке.

Пример 2. Пространство , , является линейным многообразием в пространстве , так как всякая раз непрерывно дифференцируемая на функция непрерывна на , а линейная комбинация функций из , снова является функцией из , (почему?).

Упражнение 1. Покажите, что при — линейное многообразие в .

Упражнение 2. Покажите, что множество всех многочленов степени не выше является — мерным линейным многообразием в .

Упражнение 3. Покажите, что в множество всех функций, удовлетворяющих граничным условиям , является линейным многообразием тогда и только тогда, когда .

Упражнение 4. Докажите, что множество решений линейной однородной системы уравнений с неизвестными

при является (-мерным линейным многообразием в , где — ранг матрицы системы.

Упражнение 5. Докажите, что множество решений линейного дифференциального уравнения -го порядка

(коэффициенты , непрерывны на образует -мерное линейное многообразие в .

С понятием линейного многообразия тесно связано понятие аффинного многообразия. Введем сначала следующее обозначение. Пусть — некоторое множество в линейном пространстве . Множество векторов из вида , где пробегает , будем обозначать . Короче,

Определение 2. Пусть —линейное многообразие в линейном пространстве . Фиксируем . Множество называется аффинным многообразием в . Если конечномерно, то размерность называется размерностью аффинного многообразия . В трехмерном пространстве всякая прямая и всякая плоскость, не проходящие через начало координат, являются аффинными многообразиями.

Упражнение 6. Докажите, что множество решений совместной линейной неоднородной системы уравнений с неизвестными

является -мерньм аффинным многообразием в , где — ранг матрицы системы.

Упражнение 7. Докажите, что множество решений линейного неоднородного дифференциального уравнения -го порядка

где коэффициенты , и правая часть непрерывны на , образует -мерное аффинное многообразие в .

Дата добавления: 2014-01-07