Пространство

Пространство ограниченных числовых последовательностей т

Рассмотрим множество последовательностей таких, что. Это множество принято обозначать буквой. Если и, то по определению полагают

Упражнение 1. Доказать, что если, то и, значит, — линейное пространство.

Превратим в нормированное пространство, полагая

Упражнение 2. Проверьте справедливость аксиом нормы в пространстве. Какова сходимость в? Пусть и. Это означает, что для любого найдется номер такой, что для любых n выполняется

Последнее неравенство эквивалентно условию, что для любых номеров.

Таким образом, сходимость в — покоординатная, равномерная относительно номера координаты.

§ 6. Пространство

Рассмотрим множество всех числовых последовательностей таких, что ряд сходится.

Упражнение 1. Покажите, что если, то и. Норму в введем по формуле

Упражнение 2. Проверьте аксиомы 1) и 2) нормы.

Докажем в неравенство треугольника. В неравенстве Минковского для конечных сумм (4) § 3 увеличим правую часть, заменив на любое, и в полученном неравенстве

перейдем к пределу при. Получим неравенство (для любых )

Отсюда следует, что ряд сходится, как ряд с неотрицательными членами, частичные суммы которого ограничены (см. учебник по математическому анализу). Следовательно,, и справедливо нопавелство

Это и есть неравенство треугольника. Итак, — нормированное пространство.

§ 7. Пространство непрерывных функций

Рассмотрим линейное пространство всех непрерывных на функ­ций. Норму введем так:

Аксиомы 1) и 2) нормы проверяются тривиально. Проверим аксиому 3). По свойству модуля для любого имеем

Следовательно,. Неравенство сохранится, если взять в левой его части. В результате получаем неравенство треугольника для нормы в; для полученного нормированного пространства мы сохраним прежнее обозначение.

Покажем теперь, что сходимость по норме в есть равномерная сходимость. Пусть дана последовательность, и пусть она сходится к, т. е.. Это означает следующее: для любого существует номер такой, что при любых справедливо неравенство

и тем более для всех. Итак, сходимость по норме в — равномерная.

Посмотрим, как выглядит в (в вещественном случае) окрестность. Для этого построим графики функций. Эти два графика и отрезки прямых и ограничивают - полоску (полоску ширины вокруг графика, которая и служит -окрестностью точки (рис. 1).

Рис. 1.

В лежат те элементы, графики которых лежат строго между графиками элементов и.

В линейном пространстве раз непрерывно дифференцируемых на функций введем норму

где — производная функции.

Упражнение. Проверьте аксиомы нормы в. Покажите, что сходимость в — это равномерная сходимость на последовательностей.

§ 9. Пространство

Вернемся к линейному пространству непрерывных на функций. Однако теперь мы введем норму иначе:

(интегрирование понимается в смысле Римана).

Упражнение 1. Проверьте аксиомы 1) и 2) нормы. Аксиома треугольника представляет собою неравенство Минковского для интегралов:

Доказательство неравенства Минковского при основывается на неравенстве Гёльдера

где. Заметим сначала, что если на или на, то неравенство (2) справедливо. Пусть. Подставим в неравенство (см. (2) § 3) следующие выражения и, проинтегрировав получившееся неравенство, получим

Это и есть неравенство (2).

Далее, имеем, как и в случае сумм (см. § 3),

После сокращения на t wx:val="Cambria Math"/><w:i/></w:rPr><m:t>x+y</m:t></m:r></m:e></m:d></m:e><m:sup><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/></w:rPr><m:t>p/q</m:t></m:r></m:sup></m:sSup></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> получаем неравенство Минковского (1).

Определение 1. Пусть в линейном пространстве введены две нормы: и |. Если существует постоянная такая, что для любых выполнено неравенство

то будем говорить, что норма подчинена норме.

Упражнение 2. Покажите, что если в линейном пространстве заданы и, причем подчинена, то из сходимости последовательности в смысле вытекает ее сходимость в смысле, причем к тому же элементу.

Определение 2. Сходимость в называется сходимостью в среднем.

Упражнение 3. Покажите, что подчинена норме и что, таким образом, из равномерной сходимости последовательности непрерывных на функций следует сходимость ее в среднем на. Возникает вопрос — верно ли обратное: будут ли оба введенных вида сходимости эквива­лентны?

Дата добавления: 2014-01-07